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因数分解
q3ー5q2ー36=0 の因数分解の仕方がわかりません。 qの後の半角の数は乗数です。 因数分解すると (q-6)(q2+q+6)=0 になるみたいです。 この途中式を教えてください。
- agricultur
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- cyototu
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この式が因数分解できる場合には、必ず (q+a)(q^2 +bq +c) という形をしています。ただし、a,b,cは未知な定数です。 これがq3ー5q2ー36の式と等しいので、(q+a)(q^2 +bq +c) を展開して、 (1) ac =-36 (2) a+b=-5 (3) ab+c=0 となります。(3)のcを(1)に代入すると、 (4) a^2 b =36 になります。次に(2)をaについて解き、それを(4)に代入すると (5) b^3 +10b^2 +25b-36=0 となります。この式をじっと眺めてみると、b=1の時に(5)の両辺がゼロになっていることが判ります。そこで、それを(2)に代入すると、a=-6になり、(1)より、c=6がでます。それらは実際、(3)も満たしています。故に a=-6, b=1, c=6 が答えになっているので、 q3ー5q2ー36=(q-6)(q2+q+6) が導かれます。 このやり方では運良く(5)を眺めているだけでb=1が分かったから解けました。一般にはこんなに巧くは行かないでしょう。
- LTCM1998
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エレガントではありませんが、無理やり解くことはできますね。 ヒントは、 q^3-5q^2-36 ⇔q^3-6q^2+q^2-36 と、邪魔そうな5q^2を「こんな形だったらいいな」という形の項2つに分割してしまうことです。 ここまでくれば、あとは「共通因数でくくる」のと「和と差の積」で突き進めばOKです。 本来はNo.1の方が回答していらっしゃるように、剰余定理を使って係数を出してゆくのですが、困ったときはこんな力技でも解けます。
- chiropy
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因数を見つける際には 最高次の係数をa,定数項をbとするならば ±(bの約数)/(aの約数) を調べてやればいいです。 この場合だと ±(1,2,3,4,6,9,13,18,36)/(1) これらを順に代入していくとq=6とした時に左辺が0となることから この方程式は(q-6)を因数に持つことがわかり あとは割り算してやればいいです。
お礼
ありがとうございます。 まず、この方法でやってみます!
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お礼
なるほど!ありがとうございます。 項を2つに分割する考え方は全く思いつきませんでした。 こんな解き方があるとは知りませんでした。