最小二乗法について

質問

文献中に(1)式が示されており、

q＝a・(2・Δp/ξ・ρ)^1/η・・・(1)

「最小ニ乗法によりqの1次と2次の(2)式に回帰しておく。」

ξ・ρ/2・(ｑ/ａ)^η＝ｄ1・(ｑ/ａ)＋ｄ2・(ｑ/ａ)^2・・・(2)

と書かれているのですが、なぜ(2)式になるのか、教えて下さい。
また、最小ニ乗法についても、あわせて教えていただけると。。。
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

(2)式の左辺は、(1)式をΔpについて解いたもの
Δp=ξ・ρ/2・(ｑ/ａ)^η
であることはお分かりでしょう。ここで著者はΔpを(q/a)の関数として扱おうとしているんですが、（q/aの動く範囲が小さいので）多項式近似してしまおうと仰ってる。なんで近似したいかは分かりませんが。
ηは多分常に正の値を取るのでしょう。だとすればq=0のときΔp=0です。だから二次式
ｄ0+ｄ1・(ｑ/ａ)＋ｄ2・(ｑ/ａ)^2
においてd0=0は最初から分かっています。それで
ｄ1・(ｑ/ａ)＋ｄ2・(ｑ/ａ)^2 +ε
という近似式を考えた訳です。ここにεは近似に伴う誤差です。

次に最小二乗法を使ってd1, d2（これらはqによらない定数）を決めます。具体的に色々なqについてΔpの計算値（あるいは実測値）が分かっているんですね。そのデータを
(q[1],Δp[1]), (q[2],Δp[2]), …, (q[N],Δp[N])
とします。そして
Δp[k] = ｄ1・(ｑ[k]/ａ)＋ｄ2・(ｑ[k]/ａ)^2 + ε[k]
と書きます。ここで
E=Σ(ε[k])^2 　（ただしΣはk=1,2,....,Nに関する総和）
を考え、Eが最小になるようなd1, d2を求める。これが最小二乗法です。
具体的には連立方程式
∂E/∂d1 = 0
∂E/∂d2 = 0
を解きます。これは簡単。
∂E/∂d1 = Σ∂((ε[k])^2 )/∂d1 = Σ2ε[k](∂ε[k]/∂d1 )^2
であり、
ε[k]=Δp[k]-(ｄ1・(ｑ[k]/ａ)＋ｄ2・(ｑ[k]/ａ)^2)
ですから
∂ε[k]/∂d1 =-(ｑ[k]/ａ)
従って
∂E/∂d1 = -2Σ(ｑ[k]/ａ)(Δp[k]-(ｄ1・(ｑ[k]/ａ)＋ｄ2・(ｑ[k]/ａ)^2))
=-2Σ(Δp[k]ｑ[k]/ａ-(ｄ1・((ｑ[k]/ａ)^2)＋ｄ2・(ｑ[k]/ａ)^3))
=-2Σ(Δp[k]ｑ[k]/ａ) + 2ｄ1Σ((ｑ[k]/ａ)^2) + 2ｄ2Σ(ｑ[k]/ａ)^3))
です。
A=2Σ((ｑ[k]/ａ)^2)
B=Σ(ｑ[k]/ａ)^3))
C=-2Σ(Δp[k]ｑ[k]/ａ)
とおいてみれば
∂E/∂d1 = Ad1+Bd2+C
という一次式に過ぎません。
同様にして
∂E/∂d2 = -2Σ((ｑ[k]/ａ)^2))(Δp[k]-(ｄ1・(ｑ[k]/ａ)＋ｄ2・(ｑ[k]/ａ)^2))
も一次式になり、だから
∂E/∂d1 = 0
∂E/∂d2 = 0
は２元連立一次方程式です。これを解いてd1, d2が得られます。

お礼

お礼の投稿を補足にしており、ご挨拶が遅くなりましたが、
ご丁寧な回答ありがとうございました。
stomachman様の回答で多少理解できたと思います。
また、何かありましたら、よろしくお願いいたします。

補足

stomachman様

お礼のご挨拶が遅くなってしまいましたが、
ご丁寧な回答ありがとうございました。
この回答を参考にして最小ニ乗法については、
理解できたのではないかと思います。。。
stomachman様は、この手の問題のプロですね。
本当にうらやましい限りです。
私はもともと文系なのに、このような問題と付き合うことになり、
悪戦苦闘しております。
stomachman様に、私の先生になってほしいぐらいです。
この内容の続きもあるので、その際にはご回答、
よろしくお願いいたします。