非線形素子で高次高調波や和周波などが発生するのはなぜですか？

質問

光学で非線形光学結晶を使うことで高次高調波や和周波、差周波を発生させます。
また電子工学においてもミキサーというものがあり、
これはトランジスターやダイオードなどの非線形性を利用して
和周波、差周波を発生するものだとどこかで読んだことがあります。

でも、非線形があると
・高次高調波がでる
・２つの入力の足し算と引き算が出力される

というのはどうしても1対1で結びつかないのですが、
どなかたなぜこのようなことが起こるのかわかりやすく説明して頂けないでしょうか？

回答No.5

electron11 · ベストアンサー

線形素子に電流を流しても線形ですから比例した電流が流れそのままが出て来ます
トランジスタ&FET等は増幅に利用する場合　線形でなければいけませんので線形領域で使います
でも完全ではないので少しばかり高調波が出ます
振幅が大きいほど大きくなりますので増幅後フィルターで取り除きます

非線形素子ですと歪んだ電流が流れ　歪んだ電圧が出て来ます　歪むと言う事は高調波を含む事を意味します
(冪級数で近似出来る訳でテーラー展開やマクローリン展開があります)

市販の非線形素子にはダイオード、トランジスタ等幾つかありますが振幅を大きくし非線形領域で使います
非線形特性(曲がり加減)は任意に作れませんがダイオードは構造＆材料で何種かに決まってしまいます
扱える電力は任意に出来ます
ミキサー用ダイオードとは別に　逆方向接合容量の曲がり加減は比較的任意に出来
共振器周波数可変用（バリキャップ）や高調波発生（バラクター）に使われます

三角関数 積和の公式　を思い出して下さい　二信号の積は　和＆差周波数を発生します
思い出せないなら検索して見て下さい　ミキサーはこの原理で乗算を行っているのです

トランジスタミキサーの場合　二信号の足し算したものをトランジスタの入力端子（ベース）に入れてやります
二信号を別々（ベースとエミッタ）に入れてやる事もあります　やり方は周波数によっても違います
出力端子（コレクタ）には和＆差周波数信号が出て来ますのでフィルターで分離します

通常　差周波数を取り出して利用しますが周波数が高いと利得が低下します
何処まで使えるかはトランジスタによります
利得は周波数によって変わりますが通常１０倍以上は取れます　エネルギー比では１００倍以上です
先にも書きましたように非線形特性(曲がり加減)は任意に作れませんので周波数以外の特性はほぼ決まっております
受信機の回路図をご覧になると良いでしょう　検索して見て下さい

トランジスタミキサーは利得があるので大変便利で良く使われます
つまり差周波数の取り出し（周波数変換）と利得の一石二鳥
ミキサーはラジオ＆TV等無線機関連には必ず使われます　他にダイオード、FETも使われます

非線形領域に二信号を入れる事で　三角関数 積和の公式　を近似的に実現しているのです
つまり乗算ですから乗算回路（アナログ回路素子）でも行なえる訳で実際に使われる事があります
乗算器は比較的精度良いですけれど無線周波数には使えません

回答No.4

tkajte

No.3のつづきです。

＞ですから、その式の形というのは設計段階で理論的に分かるのかとりあえず作ってみてネットワークアナライザーとかで分析する必要があるのかどちらなのでしょうか？

結局のところ、デバイスモデルの有無に関わります。
デバイスのモデル式が与えられていれば、設計段階で
理論的に作ることができます。
モデル式が与えられていない（分からない）デバイスの場合は、
静特性を測定したり、ネットワークアナライザで測定するなりして
デバイスの特性を明らかにするしかありません。

＞足し算・引き算は、トランスを使うのはどういうことなのでしょうか？

図１、図２をご覧ください。

回答No.3

tkajte

No.2の続きです。

＞これは設計段階で分かるものなのでしょうか？

式の形に寄ります。通常は代入計算にて求めていきます。
地道な計算になります。
参考サイト　－＞　http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/taylor/

＞それとずっと気になっているのですが、ミキサーというのは……
実際の足し算・引き算は、トランスを使います。
他にも、引き算だけなら、2信号をそれぞれ、トランジスタのベースとエミッタに入力するという方法もあります。

お礼

ありがとうございます。

>式の形に寄ります。
ですから、その式の形というのは設計段階で理論的に分かるのかとりあえず作ってみてネットワークアナライザーとかで分析する必要があるのかどちらなのでしょうか？

足し算・引き算は、トランスを使うのはどういうことなのでしょうか？
トランスをどう使うのですか？

回答No.2

tkajte

まず、必要な知識として
　(1)：三角関数（sin、cos）の和積（積和）の公式
　(2)：テイラー級数展開（マクローリンでも良い）
を必要とします。
（真空管やＭＯＳＦＥＴのように、特性式が多項式で表される場合は、(2)は必要ない）

(1)の意味するところは、三角関数の積が、周波数の和と差の成分が
出力されることを意味します。
(2)の意味するところは、特性を多項式で表現しなおすことを意味します。

さて、ここから説明します。
まず線形の場合を考えると、
入力をx、出力をy、定数をa とすると、線形の場合は
y=axとあらわされます。つまり、
xに三角関数を入力しても、yはa倍された三角関数が出力されるだけなので、周波数に変化はありません。
これに対して、非線形の場合は、高次の項が必ず存在します（もじ高次の項がなけれは、それは多くの場合線形ですから）。
仮に、特性式が、y=ax^2のとき、xに三角関数を入力すると、
三角関数の２乗なので、周波数的には、直流と元の２倍の周波数が
出力されます。

（まとめ）
＞・高次高調波がでる
これは、特性を多項式で表現した場合に高次の項が存在するためです。
高次の項に三角関数を入力すると三角関数の積となります。
＞・２つの入力の足し算と引き算が出力される
これは、相互変調歪みといわれるものですね。
仮に、y=ax^2に、x=cos(mt)+cos(nt)としてyを求めてみてください
直流項と、2m成分と2n成分とm-n成分とm+n成分が出力されるはずです。

(補足)
大抵の物性は、級数展開すると、多項式の無限級数となります。
言い換えると、（直流）＋（１次式）＋（２次式）＋（３次式）＋……………＋（ｎ次式）＋（ｎ＋１次式）＋……………　と表現
されます。このような特性に三角関数を入力すると、項ごとに
三角関数の積となりますので、ありとあらゆる周波数成分が出力
されることになります。（ちなみ２信号を入力した場合、これはダイオードミキサーに相当します）

いずれにせよ、一度計算して訓練してみる必要があります。
そのうち、高次成分が生成される位置がすぐにわかるようになりますから。

お礼

ありがとうございます。大体理解することが出来ました。
摂動などでは、よく
（直流）＋（１次式）＋（２次式）＋（３次式）＋……………＋（ｎ次式）＋（ｎ＋１次式）＋……………　と表現

とあらわされますが、実際のダイオードとかトランジスタ式でそれぞれの項の係数がいくつかになるかはどうやって決まるのでしょうか？

これは設計段階で分かるものなのでしょうか？

例えば3次高調波だけ強く出る素子がほしいと思ったときにどうやって素子を作るのでしょうか？

それとずっと気になっているのですが、ミキサーというのは、素子と同一の入力端子に対して２つの入力シグナルを接続するものですが、
つまりその２つの入力シグナルを直列で繋ぐことに相当しますが、
片方のシグナルがもう片方に流れたり、逆のことが起きると思うのですが、
どうやってこれを制限しているのでしょうか？

回答No.1

noname#101087

「非線形」では、入力 X に対する出力 Y が、
　　Y(X) = G1*X + G2*X^2 + G3*X^3 .....

この場合、たとえば
　　X = A*sin(ωt) のとき、 G2*X^2 は 2次高調波 を含む。
　　X = A1*sin(ω1t) + A2*sin(ω2t) のとき、2次高調波 のほかに、ω1, ω2 の和や差の項を含む。

実際に式で勘定して確かめてみて。