電気双極子モーメントについて

質問

「短い距離Lを隔てて置かれた±qの点電荷から十分遠くにはなれた点の電界を求めよ」という問題で、電荷対の中心に原点をとり、電界を求める点との距離をrとして計算したのですが、教科書の解説中に
{1/|r-L/2| - 1/|r+L/2|} = grad(1/|r|)・L （式中のrとLはベクトル）
のような変形が表れました。おそらく近似式だと思うのですが
どのように考えたらこのように変形できるのでしょうか。
ご教授お願いします。

回答No.3

noname#161582 · ベストアンサー

多変数関数のテーラー展開(一次の項までの近似)を使います。

rを位置ベクトル、aを微小な定数ベクトルとすると

f(r＋a)≒f(r)＋a・∇f(r)

と近似できます。

f(r)＝1/|r| として上の議論を適用すれば

1/|r-L/2|＝f(r-L/2)≒f(r)-L/2・∇f(r)＝1/|r|-L/2・∇(1/|r|)

1/|r+L/2|＝f(r+L/2)≒f(r)+L/2・∇f(r)＝1/|r|+L/2・∇(1/|r|)

∴1/|r-L/2| - 1/|r+L/2| ≒ -L・∇(1/|r|)

回答No.2

yokkun831

一般に，x << 1 のとき
(1+x)^n ≒ 1+nx
物理で最もよく用いられる近似ですね。
べき級数に展開して，1次微小量までとるというものです。

回答No.1

yokkun831

まず，grad(1/|r|)=-r/|r|^3.
したがって，
左辺≒1/√(r^2-r・L)-1/√(r^2+r・L)
　　＝1/|r|・{(1-r・L/|r|^2)^(-1/2)-(1+r・L/|r|^2)^(-1/2)}
　　≒1/|r|・[{1+r・L/(2|r|^2)}-{1-r・L/(2|r|^2)}]
　　＝r・L/|r|^3 = -grad(1/|r|)・L
となりました。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
ところで　1/|r|・{(1-r・L/|r|^2)^(-1/2)-(1+r・L/|r|^2)^(-1/2)}
　　　　　≒1/|r|・[{1+r・L/(2|r|^2)}-{1-r・L/(2|r|^2)}]
の部分の近似はどのように考えたのでしょうか？
重ね重ね質問をして申し訳ないです。