０で割ったらダメって、誰が決めたの？

質問

０で割ったらダメって、誰が決めたの？

異議を唱えた人はいないのですか？

数学の人って、虚数とかつくって、ほんらい不可能な解のものを、得てきましたよね？
ゼロ除算を数式化することはできないのでしょうか？

回答No.18

noname#130082 · ベストアンサー

No.18　追加です。
即興で作ったので、間違っているかもしれません（間違っていたらすみません<(__)>。）
閉区間　I=[0,1] に次の演算を定義します。
a+b=(aとbの大きい方),
a≦b のとき a-b=0,
a＞b のとき a-b=a,
a×b=(aとbの小さい方),
b≦a のとき a÷b=1,
b＞a のとき a÷b=a,
とすることで、加減乗除は自由にできます。（x÷0は必ず1になります。）
ただし、それと引き換えに、体の公理は成り立ちません。（和と積との間に分配律などは成り立つし、0は足し算の単位元で1は掛け算の単位元だが、差が和の逆演算ではなくなり、割り算が掛け算の逆演算にもならない、など）。
ただし、等号のかわりに不等号を用いて、

c×b≦a
if and only if
c≦a÷b,

a-b≦c
if and only if
a≦c+b,

という「移項」ができる（不等号の向きを変えたら駄目）ので、少しだけ逆演算っぽくなります（私の計算が間違ってなければ(^^;)・・・計算、苦手なんですよ）。

数学的には「Heyting代数、かつ、その双対束もHeyting代数」という構造ならこれらの加減乗除が定義できるはずです。発展性があるかどうかは分かりませんが、Heyting代数というのは結構重要な代数なので、たぶんまったくの無意味ではないと思います。

要するに、「体にこだわらなければ」0で割る代数もやればできる、ということです。

お礼

ほほーん、０除算が矛盾なく利用出来る・・・かもしれない？という考えが出てきましたねー。
私はこの考えがどれくらい有用かは、分かりませんが、こういう意見が出てくることは、私は大好きです。

なぜなら、自分の単なる知識を疑うことなく、回答するよりは、例外を考えたり、新しいアイディアを出すのは、とても勇気が必要で、頭を使うからです。

本当に、ありがとうございました。ｗ

回答No.20

noname#130082

＞異議を唱えた人
に答えを書き損ねました。今の時代で数学をきちんと勉強している人の中にはいないでしょう。
「体」という枠組みの中では」0で割る演算を許すと矛盾が生じてしまうという決着がついているためです。
ただ、数学の証明は、あくまで「前提が正しければ、結果も正しい」ということなので、体という前提が変われば話は別だ、ということです。
私の例は、あまりに無意味なものでは仕方ないのでブール代数から発想しました。
「A または B」をA+B。「A かつ B」をA×B、「A だが B ではない」をA-B、「A ならば B」を B÷A に置き換えたものです。ただ、ブール代数では and or not の3つだけで出来てしまう（というか、nandだけ、とかnorだけでも）ので、4つわざわざ定義する必要があるものを大急ぎで探したところ、I=[0,1]でも出来るはずだ、と思いついて出した次第です。
ファジイ論理にちょっと似ていますが、ファジイ論理では、通常の論理で「A ならば B」が not A or B であるため、Iがブール代数でないのにそのまま「ならば」の定義を持ち込んでしまいました。これでは三段論法が成立しなくなってしまいます。
「あいまいな」ものを扱うのは問題ないのですが、「あいまいに」扱うと発展性が損なわれます。
体以外で加減乗除を持ち込んで成功した例は、リレーショナル・データベースがあると思います。提唱者のCoddが、データベースを表の集まりとして定義し、表どうしの演算に加減乗除を定義したため、理論的考察がやりやすくなったことが発展の一因だと思います。

お礼

ほっほー、リレーショナル・データーベースまで、出てきましたか。
少し調べたら、「コッドの最大の功績は、データベースを科学の領域へ導いたことにある」。
けっこう有名人っぽいですねー。
いろいろと回答して頂き、皆さんありがとうございました。

回答No.19

kooc

1÷1＝1
1÷0.1＝10
1÷0.01＝100
1÷0.001＝1000
・・・とどんどん除数を0に近づけていくと、やがて商は無限に発散していきます。
ならばxが正である場合
ｘ÷0＝∞
になります。つまり0を計算に使うということは、∞を使って計算するように、非常にややこしくなってしまうのです。
だから0を除数にすることはあまりないのです。別に0で割ったらいけないわけじゃないけど、「0で割るとややこしくなる」という意味で、「0で割ったらダメ」という言葉が生まれたのではないでしょうか。

お礼

なるほど、ややこしいのはやはりイヤですからねー。
ありがとうございます。

回答No.17

noname#130082

誰が決めたのかは知りません。
ただ、他の回答者へのお礼で、
＞数学の世界って、できるだけ例外をなくすように、考え抜いてきた学問のような気がして・・・。
とありますね。
残念ながら、体（0と1が別の）の定義では加減乗除の全部を自由にすることはできないので、どこか例外を作らなければならなかった、ということだと思います。
「できるだけ例外をなくすように」したかったけれど、割り算を全部自由にして0で割ることも認めたら、矛盾が出てしまう。例外は作りたくなかったのだが仕方ない、ということではないでしょうか。
矛盾を出ないようにするためには、今まで自由にできた加減乗算が自由にできなくなってしまう。
例えば、1/0=a が存在するとすると、矛盾が出てしまう。矛盾を出さないようにしようとすると、a×0 などを未定義にする、つまり掛け算その他が自由にできなくなってしまうわけです（それでも0/0は決まった数にすると問題が出そうです）。結局、0で割った値を未定義とするのが一番合理的だということでしょう。
数学だって、目的によっては、例えば、複素数全体に無限遠点{∞}という点を付加することもありますよ。ただ、その場合は、加減乗除は自由にできないということを十分承知の上で「取り扱い注意」をすることになるわけです。

お礼

昔のヨーロッパでは０がなかったとか、０の発明者はインドだとか、０というものは、やはり大きく、例外扱いなのですねー。

なるほど、ありがとうございます。

回答No.16

mmk2000

「枠組み」人間のmmk2000です。

補足を加えますと、
数学者にとって新しい定理や枠組みを作る事は簡単なことだそうです。自分の師事していた助教授（今は准教授？）は、そんなの直ぐつくれるといってました。

ただ、重要なのはその定理、枠組みに発展性があるかどうか、だそうです。
作ってみたはいいけど、全然役に立たないものであれば誰も作ったり考えたりしません。
２乗して-1になる数字を考えるのは普通はNGですが、それを認める枠組み「複素数」については発展性があるため、一般的なようですね。

お礼

あー、私もプログラムを作るので、汎用性のないものは、関数・クラス(使い回しができる小さなプログラム)は作りませんし。

”枠や体”という考え方は、とても参考になりました。
なるほど、ありがとうございます。

回答No.15

jmh

ポーカー（数学）でジョーカー（ゼロ除算）なしの方が標準的で、ジョーカーを加えるにはルール（代数法則）を変更する必要がありますが、それらは（そもそもジョーカー絡みの役など発生しないんだから）標準的には決まっていないという状況に似ていると思います。標準は誰が決めたのか？は分かりませんが、０で割った商は上手に定められないことが、すぐに分かります。でも、ジョーカーが好きな人々はファイブカード（ゼロ除算の商）を加えています。

異議アリ…ますか？

お礼

一つの意見とすれば、全く異議はありません。

ただ、素人から見ると、素人には数学ってよく分からない事もやっているので(素数を計算し続けたり、フェルマーの定理も遙か昔の数学好きな億ちゃんが投げかけた疑問からでしょ？)、思いつきで質問しただけなので。＾＾；

また、数学独自の考えもあるので、０除算の扱いは、場合によっては・・・と思った次第でございます。

ありがとうございます。

回答No.14

noname#111804

５ｘ５＝２５は
０＋５＋５＋５＋５＋５＝２５
を意味します。

５ｘ４＝２０は
０＋５＋５＋５＋５＝２０です。

５ｘ１＝５は
０＋５＝５です。

５ｘ０＝０は
０＝０となります。

次に
２５/５＝５です。
２５－（５＋５＋５＋５＋５）＝０です。

２５/１＝２５です。
２５－（１＋１＋１＋・・・・(25個））＝０です。

２５/0はどうなるのでしょうか？

やはり、定義できないようです。

お礼

とはいえ、３人くらいまでは回答を見てきたんですが、、、質問と回答が、若干的はずれですよ。＾＾；
早く補足しろよ！と仰る方は当たり前で、「はい、君が正解！！」って言う機会を待っていたのですが、気がつくと１５も回答をついていた次第です。＾＾；

質問自体は
＞誰が決めたの？
＞例、自然発生的にそうなった。

＞異議を唱えた人はいないのですか？
＞例、いない（私は知らない）
とかで、いいのですが。＾＾；

みなさん、
＞ゼロ除算を数式化することはできないのでしょうか？
この質問のみの回答の人が多いかな？＾＾；

ゼロ除算を数式化することはできないのでしょうか？
＝＞定義できないので、むり！

で、話しはついたのですが。。。＾＾；

でも、大変分かりやすかったです。
ありがとうございます。

補足

この場を借りて・・・。
削除された君。
君は悪くない。
悪くないが、回答をしないのなら、削除は当たり前の処置だとも思う。
回答をし、さらに文句を言えば、削除はされにくい・・・と思う。

で、まず、みなさんはお休みの人も多いと思うが、私は正月も仕事なので、休みに入ったら、まとめてコメントを書こうと思っていた。
次ぎに、当方に数学的知識があまりなく（ぉい！）、まとめて考えようかなー？と。＾＾；

それは、このアカウントの前の前の前くらい。
私は、コメントやお礼を必ず書き、質問にの補足から、再度回答するタイプの人間でした。
私も削除された君のように注意もした。
それが、このサイトの質を上げる行為と信じたからです。
所が、「お礼は締め切り直前に書くことに決めてるんですっ！！」って怒られたり、別にお礼を書かない人がいても当たり前だよねー。という意見も多く、最終的には面倒になり、okwebをやめました。

君は悪くはないが、その道は険しいよ。
ただ、間違ってはいない。

回答No.13

noname#74718

定数/0=∞ではありません。lim1/x=-∞だからです
x→-0
また0で割ることを認めたら
(x+1)(x-2)=0のような方程式が解けなくなってしまいます。

お礼

詳しい数式は分かりませんが、
つまり数学界の例外ということですね？
なんか、数学の世界って、できるだけ例外をなくすように、考え抜いてきた学問のような気がして・・・。

では、
＞０で割ったらダメって、誰が決めたの？
＞異議を唱えた人はいないのですか？

は、分かりますか？
もし、知っていたらお願いしますね。
ありがとうございます。

回答No.12

noname#98993

きっと理解できないんですよ

みなさん、ばらばらな意見で先生がいないのですから
先生がいれば、みなさんきっとお黙りになると思いますｗ

小学校の先生もこの中にいられるでしょうか？
面白いですね

遠山啓とか志賀浩二あたりは、小学生向けになんて言ってるんでしょうかね？

ゼロとは何か、と認識の違いで回答の傾向が別れますね
定数のように考える派
mmk2000さんのように、極限難しいかな、0.0000001より0.0000000001のが０に近いからこういうふうに０を考えよう派

従って除法は、
定数でされると認識する派
mmk2000さんのように、極限でされると認識する派
とも言えますね

私は先生でないので申し訳ないのですが、
除法は、定数でされると認識する派
のが教育上いいと思います
ハイレベルな人には、mmk2000さんのように、極限でされると認識する派もありますよ、みたいな付記で

bluemtgさんの証明が面白かったので、本人が後でされるかもしれませんが、大きなお世話で補足しておきますｗ
bluemtgさんは、除法は、定数でされると認識する派ですね

↓↓
A=B　　という式がある。両辺に"A"を掛けて
（中略）
(A+B)*(A-B)=B*(A-B) 両辺を(A-B)で割って

ここで、(A-B)＝０なんです。そもそも。
だから(A+B)*(A-B)=B*(A-B)を０で割っているから
２＝１などという結果がでたりします

コメントも誰を信じたらいいのかわからない状態ではないんですか？
適当に、参考になりました、でいいと思いますよｗ
一番、文の雰囲気が好感持てる人にポイントをあげるくらいでｗ

お礼

違います。
単に仕事が忙しかっただけ・・・、なのと、若干的はずれだなと、「はい！君正解！！」というコメントをまっさいきに書きたかっただけなんですよ。＾＾；
で、気がついたら１５個も回答が付いていた訳で。

＞０で割ったらダメって、誰が決めたの？
＞異議を唱えた人はいないのですか？
の疑問が解決されていませんし。＾＾；

逆に言うと、適当に書けない人がお礼が遅れたり、不完全お礼に憤りを感じ、絶望したりするんですよね。
お礼が遅れて申し訳ありません。；ｗ；

０の認識を、分けて頂いたのは、参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.11

mmk2000

自分の考えとして
a/xとしてx→0にしても、a/x→∞にはならないと思います。
厳密に言えばx→＋0のとき＋∞、x→-0のときでは-∞であり、不連続な点です。
ですので、a/x＝∞とすることもできません。
また、0は「無」ではなく、「0」という数字は確かにそこに「有」ります。個数として0を適用した場合のみ「無」と考えれるだけです。

さて、小難しい話は無しにして、質問者様の意見には賛同します。
どうにかできないものか？と。
割り算の考え方をかえて6÷3を、「3を何回たせば6になりますか？」と考える。
3＋3で答えは2回。つまり「２」です。
同様に1÷0を、「0を何回たせば１になりますか？」と考える。
0＋0＋0＋・・・
とずっと足しても、いつまで経っても1にはならない。
今までは「だから0でわる事はダメなんだよ」といわれてきました。
でも、そもそも数学はそれぞれ枠組みがあって、その中で許された方法の計算をしています。＃1の方が仰っている体（タイ、と読みます。カラダではありません。）もその枠組みの一つです。
数学者なら、今までの枠組みで許されない計算があるんなら、それも許しちゃう枠組みを作っちゃえ、という発想になるはずです。今実際なっているのかどうか知りませんが…

実際にそういう例（になっているかどうかは分かりませんが）としては
平行な２つの直線がずぅぅぅっと先でも交わらず平行のままでいる（ユークリッド幾何学。今までに習っていた普通の感覚）、
という枠組みと、
平行な2つの直線がずぅぅぅっと先では交わる、
という枠組みがあります。そうやって枠組みを作り変えていけば0でわってもよい枠組みというのが作れるかもしれませんね。実際誰も作っていないのであれば、あまり意味のない枠組みなのかもしれません。

お礼

なるほど、数学の世界でもプログラムのような定義や関数を自分で作ってもいいのですね。
それが、”体”と。

＞異議を唱えた人はいないのですか？
　今の所いなさそう。でも、将来は？
＞ゼロ除算を数式化することはできないのでしょうか？
　”体”を変えるよって、数式化できる可能性はある

って所でしょうか？
あー、それは面白いアイディアですねー。
参考になりました。

回答No.10

owata-www

これはよくよく考えれば、難しい話です。それは“０”の定義が難しいからです。

単なる整数の一つとして考えるなら、＃２さんたちが仰っている通り、解はありません

しかし、極限をとると
lim[x→0] α／ｘ＝∞
となります。これは＃３さんが仰っている通りになります。

ただ、普通０で割るという時は、前者の意味で用いると思われます。

しかし、0÷0はどうでしょうか？私は解はすべての数と習いましたし、そう理解していますが…　これもよくよく考えれば難しい問題です。

お礼

0÷0は、同じ数を同じ数で割ったのだから、１でもいいかなー？とまた珍回答を出したりして。
10/10,9/9,,,,2/2,1/1はすべて１でしょ？
0/0だって、グラフを書けば１でしょ？

まぁ、それは別にいいですが。

０の定義と言いますが、０ってどういう側面がありますか？
数字の定義には、自然数とか、整数とか、ありますよね？
すべての定義の場合０除算は不定になりますか？
どの条件の０でも、０除算は不定になるのでしょうか？

謎が深いですねー。
ありがとうございます。