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行列式の証明に関する質問
- 質問は、行列式の証明に関してです。
- 証明では、線形性と交代性を持つ関数Fとその定理F(a1,...,an) = F(e1,...,en)|A|を使用します。
- 証明の最後の行にある(*)でF(e1,...,en)とD(a1,...,an)が等しいことが理解できません。
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問．Aをn次正方行列とする。 零ベクトルでないn項列ベクトルbによって、 Ab=b が成り立っていれば |A|=0 であることを 証明せよ。 線形代数について学習し始めたばかりで、考え方や証明の仕方 に慣れていません。 Ab=b ということは、行列Aが単位行列であることと関係があるのでしょうか。 いろいろ教えていただけると助かります。お願いします。
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n次正方行列Aに関して次の[１]～[５]はすべて同値であることを証明せよ。 [1] Aは正則 [2] |A|≠0 [3] rank A = n [4] Aのn個の列ベクトルは１次独立。 [5] AB = Eを満たすｎ次正方行列Bが存在する。 [１]→[２] Aが正則であるから、Aには逆行列が存在し、AA^-1＝Eとなる。 |AA^-1|=|E|より、|A||A^-1|＝1≠０となり、|A|≠０であることがわかる。 ∴ Aが正則ならば|A|≠０である。 [２]→[３] P、Qを正則行列として、 PAQ＝(Er 0 0 0) としたとき Aがｎ次正方行列なので、P、Q および右辺の行列もｎ次の正方行列である。 |A|≠０より|PAQ|≠０で(Er 0 0 0)≠０となり、ｒ=ｎなり、rankA=ｎが言える。 ∴ |A|≠０ならば、rankA=ｎである。 [３]→[４] Aがｎ次正方行列でrankA=ｎより、 Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にｎ行ｎ列の単位行列にできる。 よって、単位行列のｎ個の各列ベクトルは、単位基底であるので１次独立である。 ∴ rankA=ｎならば、Aのｎ個の列ベクトルは１次独立である。 [４]→[５] Aの列ベクトルをa1、a2、・・・、 anとする。 また、x1、x2、・・・・・、xnをスカラーとして、x1a1+x2a2+・・・・+xnan=０・・・(1)とする。 a1、a2、・・・・、anが１次独立であるので、(1)式中のｘi(i=1、2、・・・ｎ）はすべて０となる。 このとき|A|=０であると、ｘiが自明な解以外の解を持ってしまうので |A|≠０である必要がある。|A|≠０であれば、A^-1が存在し、AA^-1=Eとなる。 このとき、A^-1＝Bとすれば、AB=Eとなる。 ∴ Aのｎ個の列ベクトルが1次独立ならば、AB=Eを満たすｎ次正方行列Bが存在する。 [５]→[1] AB=Eより、|A||B|=1 つまり|B|≠０。このことよりBC=Eとなる行列Cが存在する。 C＝EC＝(AB)C＝A（BC)＝AE＝A。 ここで、BA=Eであることがわかる。 AB=EのBとBA=EのBが同じであり、Aに対して、Bが１つしか存在しない。 よって、BがAの逆行列であることがわかる。 Aに逆行列が存在するということは、Aは正則である。 ∴ AB=Eを満たすｎ次正方行列が存在すれば、Aは正則である。 上記のように解いたのですが、証明できていますでしょうか？ アドバイスお願い致します。
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シムソンの定理の証明 ホームページ http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/ptolemaios/simson.htm の作成者に質問したかったのですが適当な所がみつからなかったのでここで質問します。 シムソンの定理 △ABCの外接円周上の点Pから BC、CA、AB に下ろした垂線の足を D、E、F とする。 このとき、3点 D、E、F は1直線上にある。 この直線のことを、シムソン線という。 (証明)4点 P、F、A、E は、同一円周上にあるので、∠PFE＝∠PAE … と左図と一緒に書かれていましたが、 左図では確かに ∠PFE＝∠PAE ですが 右図では4点 P、F、A、が 、同一円周上にあるにもかかわらず ∠PFE≠∠PAE となってしまい、この証明は誤りなのではないでしょうか? シムソンの定理は、 「A,B,C,P,が同一円周上の点で D,E,F が P から BC,CA,AB への垂点」 という条件で P,A,B,C の位置に関係なく成立することを 証明しなければ、証明とはいえないのではないでしょうか? 以下の証明の方がよいのではないでしょうか? △ABCの外接円周上の点Pから BC、CA、AB に下ろした垂線の足を D、E、F とする。 外接円の中心に 0 を対応させ 点 P に 1 を対応させて 外接円を単位円とする座標をいれて 点 A,B,C,D,E,F のそれぞれの位置の複素数を a,b,c,d,e,f とすると |a|=|b|=|c|=1 となるから 2d=b+c-bc+1 2e=c+a-ca+1 2f=a+b-ab+1 x~=(xの共役複素数) とすると 4((e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d)) =((a~b-ab~)(|c|^2-1)+(b~c-bc~)(|a|^2-1)+(ac~-ca~)(|b|^2-1) +a(|c|^2-|b|^2)+b(|a|^2-|c|^2)+c(|b|^2-|a|^2) +a~(|b|^2-|c|^2)+b~(|c|^2-|a|^2)+c~(|a|^2-|b|^2)) |a|=|b|=|c|=1 だから (e-d)(f~-d~)-(e~-d~)(f-d)=0 e-d と f-d の向きが等しいから 3点D,E,Fは1つの直線上にある
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