波の問題です。

質問

フーリエ展開で波の式は出しました。奇数のモードしか出てこない波形で、両端を固定した弦をつまみあげて放す振動なんですが、始めの状態（初期形（つまみあげたときの形））に戻ってくる時間は、1/振動数で求まりますよね？でもこの場合、モードによって振動数が違うから、初期の形に戻る時間間隔は出せないように思うのですが、、、、

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

oshiete_goo さんはじめ皆さんの書かれているとおりですが，
少し補足します．

弦の長さを L として(弦の位置座標が x = 0 から x = L まで)，
両端固定で，初期条件が左右対称(例えば，左右対称になるように真中をつまみ上げた)とすると，
固有モードは
(1)　　sin{(2n+1)πx/L}　　　n = 0,1,2,3,...
です．sin になるのは両端固定のため，
また，2n+1 のところが偶数になってしまうと左右が反対称のモードになってしまいます．
質問の状況はこういうことなのでしょう．

さて，上のモードは波数 k(n) は k(n) = (2n+1)π/L です．
通常の弦の振動の扱いでは，角振動数 ω(n) と波数 k(n) の間の関係は
(2)　　ω(n) = v k(n)
という線型関係です(v は波の伝播速度で，モードに依らない)．
したがって，モード n の周期 T(n) は
(3)　　T(n) = 2π/ω(n) = 2L / (2n+1)v
で，oshiete_goo さんが最初に書かれたことが示されました．
n = 0 が基本モードです．

大事なところは(2)式です．
これが成り立たないと，基本振動の周期が全体の最小公倍数というわけにはいきません．
例えば，格子の振動のように質点が並んでいるような状況では
(2)は成り立ちません．

回答No.3

gator

#2の方。
>質問の条件「奇数のモードしか出てこない波形」ということですから、摘み上げた
>時の弦の形が三角形に近いということなのかなと思います。
一般的に良く言われるのは、
(1)奇数の倍音を含む→矩形波
(2)全ての倍音を含む→ノコギリ波
ですよね。これは、(1/n)Sin(nx)で、全てのnについて加えるか、奇数のみ加える
かででてきます。

さて、両端を固定した弦を考える場合、基本振動の波長はその弦の長さの2倍ですね。
それを位相360°として、実際の弦は180°までを考えることになります。で、上の
(1)と(2)の違いは一般化すると、
(1)位相90°(つまり弦の真中)に対し、対称な成分のみからなる。
(2)非対称な成分も含む。
ということなので、多分、弦の真中以外をつまんではなすと、というか、弦の真中に
対して非対称な形を初期形状とすると、最初はどうしても奇数以外の倍音を含むこと
になります。そしてそれらは許されないということなので、減衰していくと思います。
元の形には戻らない。真中1点とか、真中に対し対称な形状を初期形状とすると、奇数
倍音のみで展開できることになりますので、もとの形に戻ることは可能。で、全ての
周期の最小公倍数なので、結局基本音の周期というのが答えなのではないでしょうか?
あるいは、もし、基本音が入らないような初期形状にしたとすれば、入っている倍音
のうちで一番長い周期というのが答えになるでしょう。

以上

回答No.2

mmky

#1のoshiete_gooさんの回答どおりですが、少し蛇足で補足します。
質問の条件「奇数のモードしか出てこない波形」ということですから、摘み上げた時の弦の形が三角形に近いということなのかなと思います。つまりフーリエ展開というのは「形」を三角関数の合成で表現するものなのですね。だからこの問題では奇数の高調成分は「形＝三角形に近い」の表現手段だと思えばいいのですね。三角形に近い弦が振動しているということですね。
ということで基本波の周期が実際に観察できる周期になりますね。
物理現象と数学の解析手段の間の解釈は実験で確認してくださいね。
参考程度まで

回答No.1

oshiete_goo

基本振動とその整数倍の成分しか存在しないのであれば，基本振動の周期が全体の最小公倍数では？