線対称の問題に付いて

質問

線対称な図形において対称軸が３本以上あったときに、必ず１点で交わるのでしょうか？
可能でしたら証明も教えてください。

回答No.1

handarin

例えば直線や無限に長い帯などは、
平行な対称軸を無数にもつので、一点で交わるとは限りません。

ただし図形を有界に限れば（大きさを限定すれば）YESと言えそうです

（略証）
図形Aはxy平面上、原点から半径１以下の距離におさまっており
２本の対称軸m,nもつと仮定します。
まずm,nは平行ではありません。
（平行だと、対象移動を繰り返したとき、原点からどんどん離れていくので）
そこでm,nは原点で交わるとします。

ここへ別の対称軸kが引けるかどうかを考えます。
kは原点より上に引けると仮定して矛盾を導きます（下でも同様）
いま図形A上の点aを１つとります。aの原点からの距離は当然1以下
。
もしaがkより上にあるときは、直線m,nでの対象移動を繰り返して
kより下に持ってきます。
もしaがkより下にあるときは、kで対象移動します。
その点も当然Aに含まれますが、原点からの距離は増加します。
この操作を繰り返すことで、aは原点からどんどん遠い別の点に対象移動します。
その距離はいつか1を超えます。これはAの点がすべて原点から1以下という仮定に反します。
したがってkは必ず原点を通ります。