アンサイクロペディアに載っている 1=2の証明について

質問

http://ansaikuropedia.org/wiki/1%3D2
私は理系の大学一年生です。
アンサイクロペディアの1=2の証明を見たのですが、それらのうちのいくつかについてどう間違っているかわかりません。
ご教授願います。

・背理法による証明
・複素数を使った証明
・Eulerの公式による証明
・√2を√2乗しつづけたものを用いる証明

この４つのうちのどれでもいいので解説お願いします。
特に上の二つが気になるのでよろしくお願いします。

回答No.3

BookerL · ベストアンサー

おもしろいページですね。ちょっと考えてみました。

・背理法による証明
これは、１×０と２×０の結果が等しいので、１＝２である、といっているだけ。

・複素数を使った証明
√(-1/1)＝√(-1)/√1 としているところ。
√(a/b)＝√a/√b とできるのは、a、b ともに実数で正の場合のみ。

・Eulerの公式による証明
exp(2iπ) の対数を取る、というところ。
複素数の対数は、多価になるので、 exp(2iπ) = exp(4iπ) であっても 2iπ = 4iπ とはならない。
sin(2π)＝sin(4π) であっても 2π＝4π でないことと同じ？
http://www.ee.t-kougei.ac.jp/tuushin/lecture/math1/htdocs/complex/log/index.html

・√2を√2乗しつづけたものを用いる証明
これは、A は A＝√2^A を満たすが、これを満たす数が全て A ではない、ということではないかと思うのですが、ちょっとすっきりとはわかりませんでした。

補足

ありがとうございます！
logの複素数拡張は習ってないのでわかりませんが、
>exp(2iπ) = exp(4iπ) であっても 2iπ = 4iπ とはならない。
sin(2π)＝sin(4π) であっても 2π＝4π でないことと同じ？
で雰囲気はつかむことができました！

質問なんですが
√(a/b)＝√a/√b とできるのは、a、b ともに実数で正の場合のみ。
これは平方根以外でも成り立ちますか？
つまり
(a/b)^(1/n)=a^(1/n)b^(1/n)は　a、b ともに実数で正の場合のみに限る
は成り立つでしょうか？
フィーリングだと成り立ちそうなんですけど、どうなんでしょう

回答No.6

BookerL

#3です。

「√2を√2乗しつづけたものを用いる証明」の件ですが、＃４の方の

＞√2 を何回か √2 乗してみると分かることだが、
＞√2 乗する回数が増えると、その値は凄い速さで増大してゆく。

について、√2^√2^√2^√2…… は、√2を√2乗し、その結果をさらに√2乗する、ということなら、無限に発散しますが、この場合は、√2を√2乗し、次に√2を(√2の√2乗)乗し、……という計算だと思います。この場合２に収束すると思います。

※ 3^3^3 は 9^3 ではなくて、 3^9 と計算すると思います。

　で、本題の、この「証明」のどこがおかしいか、ということについては、先に書いたように、Aについての方程式を作り、その解が２つあるからといって、それらの解が等しいということにはならない、ということではないかと思います。

　例えば、「ある数がある。この数を２乗し、これからこの数の３倍を引くと －２ となる」ということがあったとします。
　このとき、「この関係から x^2－3x＝－2 という式ができ、x＝１はこれを満たす、また、x＝２ もこの式を満たす、つまり １＝２ である」といっているのと同じではないでしょうか。

　２次方程式に２つの解があるのは当然ですが、√2の√2乗、などという見慣れないものについての式なので、方程式の解が２つあることとそれらが等しいということをつなげられると、うっかりしてしまうのではないでしょうか。

お礼

そうでした・・・肩にのってる方から計算するんでしたね。。。
Aは定数値2になることはa(1)=√2 a(n+1)=(√2)^a(n)の数列を調べて確かめました。
うっかり間違えて覚えてしまうところでした。どうもありがとうございました！

回答No.5

Uprising

No.2です。私の回答の
>・複素数を使った証明
>「両辺のルートを取」るところが間違っています。
>　a＝b　⇒　√a＝√b
>は誤りです。
は的外れな意見でした。
申し訳ありません。
たしかに　a＝b　⇒　√a＝√b　は誤りですが、それは今回関係ない話でした。
a＝a　という恒等式なら　　√a＝√a　　となりますね。

ところで他の方の回答を見て思ったのですが、
　√(－1/1)＝√(－1)/√1
だと、左辺＝i＝右辺　となりますが、
　√(1/－1)＝√1/√(－1)
だと、左辺＝i、右辺＝1/i＝－i　となります。

√(a/b)＝√a/√b とできるのは、「a,bが正の実数」のときだけでしょうか。
aが負でbが正のときも成り立ちそうな…。
　√(－5/3)＝i√(5/3)＝(i√5)/√3＝√(－5)/√3

回答No.4

arrysthmia

そのページは、労作だなあ。感動した。

・√2を√2乗しつづけたものを用いる証明

実際に √2 を何回か √2 乗してみると分かることだが、
√2 乗する回数が増えると、その値は凄い速さで増大してゆく。
その繰り返しの果てで、結局、A は収束しない。
つまり、そのような A は存在しない。
存在しないものの値を求めてもね。

y = x と y = (√2)^x のグラフを描いてみると、
A = (√2)^A の解は A = 2, 4 の二個であることが分かる。

お礼

なるほど、Aは有限の定数ではないんですね。
さっき思いついたのでも
A=1+1+1+・・・とすれば A=1+Aとか作れるよなあって思いました。

ありがとうございました！

回答No.2

Uprising

・背理法による証明
　1≠2　⇒　1*0≠2*0
とするところが間違っています。
　ax＝bx　⇒　a＝b　　
や、
　a≠b　⇒　ax≠bx
という間違いと同じです。
正しくは、
　ax＝bx　⇒　ax－bx＝0　⇒　x(a－b)＝0　⇒　x＝0またはa＝b
だし、
　a≠b　⇒　a－b≠0　⇒　x＝0のときx(a－b)＝0、x≠0のときx(a－b)≠0
です。

・複素数を使った証明
「両辺のルートを取」るところが間違っています。
　a＝b　⇒　√a＝√b
は誤りです。
ただしくは、
　a＝b　⇒　√a＝±√b
です。

お礼

おお～　すっきり理解できました。
ありがとうございました！

回答No.1

fukuda-h

複素数を使った証明は
これは誰でも知っている等式:・・・これはok
両辺のルートを取って:・・・これもok
ルートを分子分母へ:・・・ここがダメでしょうね
√(ab)=√a×√bとなるには条件があってa>0,b>0という条件を無視してやってますね。ここで間違ってます。
√(-1/1)=√(-1)/√1とはなりませんね。ここでむちゃくちゃになってます。

お礼

分かりやすかったです。ありがとうございました！