◆ガンマ分布の再生性◆

質問

こんにちは。よろしくお願い致します。
問題はガンマ分布の再生性についての証明です。

(問題)
X_1とX_2が独立で、X_j～Ga(α_j,β) (j=1,2)
⇒X_1＋X_2～Ga(α_1＋α_2,β)

解析学の勉強でガンマ分布の勉強をしていないため、統計学で出てきたこの問題がわかりません。
基礎から教えていただければ幸いです。どうぞよろしくお願いします！

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

証明方法は2つ方法があります。
1つは積率母関数（又は特性関数）が同じものは分布も同じであることを利用して、X_1+X_2の分布とGa(α_1＋α_2,β)の分布の確率母関数が同じことを示す。もう1つは下のように地道に計算していく方法です。

形状母数α_i, 尺度母数βのガンマ分布に従う確率変数X_iの確率密度分布をf(x_i, α_i, β)としたとき、

∫∫f(x_1, α_1, β)×f(x_2, α_2, β)dx_1dx_2 = ∫f(y, α_1+α_2, β)dy (積分範囲はすべて(0, ∞))

となることを示すだけです。
どちらかの方法でやってみてわからないとこと出てきたら、補足に追加してください。

補足

積率母関数を使った証明をしたいです。
そこで考えてみたのですが、

X_1とX_2は独立で、Y=X_1+X_2とおく。
M_x(t)=E(e^tx)=(1-βt)^-αなので
M_x1＋x2(t)=(1-βt)^-2α

と考えて、ここで止まってしまいました…。
こういうことではないのでしょうか？

回答No.5

noname#227064

> ガンマ分布の積率母関数が
> Mx_j(t)
> =E(e^tx_j)
> =(1-βt)^-α
> とありますが、これは計算を省略していますか？

見てのとおり省略されています。

> もし計算を省略した式なら、詳しい式を知りたいので、
> 途中の式を教えていただけないでしょうか？

積率母関数の定義のとおり積分すればいいだけです。
・・・ではあんまりな気がするのでヒントを出しておきます。
積分の途中式をよく見るとガンマ関数と似ている部分でてきます。
ガンマ関数をうまく使って積分を行いましょう。

最後に厳しいことを言わせてもらいますが、

> もし計算を省略した式なら、詳しい式を知りたいので、
> 途中の式を教えていただけないでしょうか？

これは、いまさら質問することではありません。
ANo.2の補足の書き方をされるとガンマ分布の積率母関数の求め方は当然知っているものと普通は考えます。
質問するならANo.2の時点ですべきですし、或いは積率母関数を使わない方法を選ぶべきです。

お礼

わかりやすく教えていただきありがとうございました。

回答No.4

noname#227064

> X_1とX_2は独立で、Y=X_1+X_2とおく。
> M_x(t)=E(e^tx)=(1-βt)^-αなので
> M_x1＋x2(t)=(1-βt)^-2α

> と考えて、ここで止まってしまいました…。

ここまでくれば、X1_+X_2の積率母関数はX_iのそれと比較して、αを2αに置き換えたものであることがわかります。
したがって、X_1+X_2の分布はGa(2α,β)となります。

補足

ありがとうございます、解き方がわかりました！
ちなみに、ガンマ分布の積率母関数が
Mx_j(t)
=E(e^tx_j)
=(1-βt)^-α
とありますが、これは計算を省略していますか？もし計算を省略した式なら、詳しい式を知りたいので、途中の式を教えていただけないでしょうか？

回答No.3

noname#227064

ANo.2で書き忘れがありました。

∫∫f(x_1, α_1, β)×f(x_2, α_2, β)dx_1dx_2 = ∫f(y, α_1+α_2, β)dy (積分範囲はすべて(0, ∞))

この式中で変数yがでてきますが、y = x_1 + x_2です。

回答No.1

noname#227064

> 解析学の勉強でガンマ分布の勉強をしていないため、統計学で出てきたこの問題がわかりません。
> 基礎から教えていただければ幸いです。どうぞよろしくお願いします！

とのことですが、どこからわからないのでしょうか？
ガンマ分布の確率密度関数がわからないのか、ガンマ関数がわからないのか、解き方がわからないのか、もう少し詳しく説明して下さい。
ただ単に「わからない」だと答えようがありません。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%83%9E%E5%88%86%E5%B8%83

お礼

ただわからないとしか書かずに申し訳ありません。
私がわからないのは、『この問題の解き方』です。
リンクを貼っていただいたWikipediaの情報程度しか知らないため、基礎からという言い方をしてしまいました。私の本意は、丁寧に解答を教えていただきたいという意味でした。