絶対値不等式を二乗して解く

質問

絶対値のついた不等式を解くとき、両辺を二乗して解いても答えは正しくなるのですか？
|ax+b|<kの場合は、-k<ax+b<kの場合と同じ答えになるが、
|ax+b|<cx+dの場合は、同じ答えにならないと聞いたような気がするのですが、はっきり分かりません。どなたか教えてください。

回答No.1

hatake333

|x - 1| < -2x + 1
のとき，
<場合分け>
(i) x > 1 のとき，
　　x - 1 < -2x + 1
　　　 3x < 2
　　　 x < 2/3
　　よって，不適
(ii) x ≦ 1 のとき，
　　-(x - 1) < -2x + 1
　　　　　 x < 0
　　よって，x < 0
(i),(ii)より，x < 0

これが，正解ということを踏まえて，
<2乗>
　　　|x - 1|^2 < (-2x + 1)^2
　 x^2 - 2x + 1 < 4x^2 - 4x + 1
　　　x(3x - 2) > 0
　　　　x < 0 , 2/3 < x
よって，誤答
<|ax+b|<k　⇒　-k<ax+b<k　のやり方>
　　-(-2x + 1) < x - 1 < -2x + 1
x < 0 , 2/3 < x
よって，誤答

となるので，結論としては駄目です．
しかし，次のことに注意すれば使ってもかまいません．

　　|x - 1| < -2x + 1
において，左辺|x - 1| は常に，
　　|x - 1| ≧ 0
が成り立つ．よって，
　　0 ≦ |x - 1| < -2x + 1
より，
　　-2x + 1 ≧ 0
　　　　x ≦ 1/2
これを含めて考えれば，<2乗>，<|ax+b|<k　⇒　-k<ax+b<k　のやり方>の
どちらの方法でも，正しい結論，x < 0 を得られます．

誤答となる原因は，
A ≧ 0 , B ≧ 0 のとき
　　A < B　←→　A^2 < B^2
がどちらも成り立つが，A ≧ 0 , B ≧ 0 という仮定を用いなかったところにあります．

お礼

とてもよく分かりました～。詳しい回答、ありがとうございました！