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定義と定理について

2001/02/22 21:09

stomachmanの回答

stomachman
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2001/02/23 02:47 回答No.7

定義と定理。結構、説明が難しいですね。以下は中学生向けにはハッキリ難しすぎると思いますが、多少ともご参考になりましょうか。 ●「定義」とは、新しい「用語」を使い始める時に、その意味をハッキリ定めたもの。たとえば『偶数』という用語を、『２で割り切れるような自然数を偶数という。』と「定義」する。以後、『偶数』という言葉は『２で割り切れるような自然数』を短く言っただけだな、と思って読めばよろしい。　既に「定義」してある言葉だけを使って新しい言葉の読みかえ方を書いたのが「定義」です。だから『偶数とはたとえばXXのようなもの』じゃダメ。　従って、厳密な事を言えば『２』『割り切れる』『自然数』が既に「定義」してあって初めて『２で割り切れるような自然数を偶数という。』ということが「定義」できるんです。中学・高校では、『２』『割り切れる』『自然数』の「定義」は何か、という非常に基礎の部分までは勉強しませんが、実は「数学基礎論」という専門分野できちんと「定義」されています。 ●本格的に「定理」というのを説明するのもなかなか大変です。　まず数学には「対象」というものがある。これは中学でやる代数では普通の「数」ですし、幾何だと「点」「直線」などが「対象」です。厳密に言えば、単にそういう名前があるだけであって、「数」だから数字で表せるとか、「点」だから面積がないとか、そういう余計なことはまだここでは考えてはいけない。言葉のイメージに釣られちゃダメなんです。「対象」は「無定義用語」と呼ばれることもある。というのも、「対象」は言いかえようがない基本的な用語だからです。　次に「公理」というものを幾つか決めてある。「公理」は「対象」に関する基本的な性質のことで、これは証明なしで正しいと認める。これで初めて「対象」の意味が決まります。つまり「対象」は初めは単なる名前だけだったのが、幾つか「公理」を並べることで、その具体的な性質が決まる。数学では、「公理」で決めた性質だけを使う。勝手に性質を付け加えちゃいけません。　とは言っても、中学・高校では「公理」は何と何か、なんていう非常に基礎の部分まではふつう勉強しませんね。　さらに「推論規則」というものが幾つか決めてある。「推論規則」は幾つかの「公理」を組み合わせて新しい性質を導き出すやり方の事です。（推論規則にも「三段論法」とか、「数学的帰納法」とか、「背理法」とか、名前がついています。）　そうやって導き出された性質、これが「定理」です。つまり『（公理と推論規則が正しいと言う前提のもとで）対象に関してXXという性質が成り立つ』ということを表すのが「定理」です。「推論規則」はいくつかの「定理」から別の「定理」を導き出すのにも使って良い。　「定理」を導き出す過程を書いたのが「証明」です。「公理」か「定理」だけから「推論規則」だけを使って新しい「定理」を導き出す。これ以外に一切余計なものが混ざってはいけない。　こうして、いろいろな「定理」が次々と別の「定理」を生みだします。たとえば定理：『n×nが２で割り切れる自然数ならば、nも２で割り切れる自然数である。』これじゃ長ったらしいですよね。そこで定義：『２で割り切れるような自然数を偶数という。』によって新しい用語『偶数』を決めて、さっきの「定理」を定理：『n×nが偶数ならば、nも偶数である。』と短く言えるようにする。（なお、「定理」の中には「補題」「系」などと呼ばれるものもありますが、「定理」と同じ意味です。） ●こういう考え方が、ユークリッドに始まる公理主義。なんだかがんじがらめのようですが、ヒルベルトの形式主義ではもっとうるさい。使う言葉も日本語や英語ではなく、正式には「一階述語論理」という言語を使います。（大抵の）現代の数学はこの形式主義に則っています。 ●ついでに。「対象」「公理」「推論規則」を決めれば、「定理」が沢山出てくる。これら「定理」全部をまとめて「(数学）理論」と言います。つまりスジから言えば（「対象」は単なる名前に過ぎませんから）「公理」「推論規則」を前提として、何が言えるか、を研究するのが数学ってことになります。　しかし実際の所は逆に、たとえば「いろんな図形をまとめて扱えるように「公理」を定めたい。どういう「公理」を並べればよいか？」という研究が必要で、これが「数学基礎論」です。