（－）×（－）＝（＋） は定理ですか？定義ですか？

質問

いつもお世話になっています。

（－）×（－）＝（＋）　は定理ですか？定義ですか？

上記の用に計算しないと現象がうまく説明できません。これって定理ですか？中一で初めて上記を習った時「数の性質」とか記述されていたように思います？　定義だとすれば最初に定義した人は大変先見の明があるなと思います。

理学部数学科の方宜しくお願いします。

回答No.4

fjfsgh

大学レベルの環論なんかですと、分配法則を公理として、
そこから（－）×（－）＝（＋）　といういわば定理が導き出されますが、

（普通の学科では習わないことも多い）基礎論などを知っていれば、分配法則も定理となり、他の公理から導かれるようになります。

（－）×（－）＝（＋）　を定義として出発することも可能です。

数学には自由性があり、偏った知識ではいけないと思います。

お礼

回答有り難うございました。

＞分配法則を公理として、
そこから（－）×（－）＝（＋）　といういわば定理が導き出されますが

そうですね。分配法則を公理とすると（－）×（－）＝（＋）を認めないと矛盾がでてｋますね。しかし構造的にそのことを説明しようとすると私を含め一般人は（－）×（－）＝（＋）はなぜだ。説明になってないと言うし、堂々めぐりですね。

＞数学には自由性があり、偏った知識ではいけないと思います

そこが数学の素晴らしいところですね。物理学を初め他の学問の多くは事実に規程されてしまいます物ね。

有り難うございました。

回答No.3

zyukun

こんにちは。

大学レベルで答えていいんですよね？
だとしたら、負の数のかけ算がいつでも正になるというのは定理から導きます。

定理と定義の違い、それから公理についてはどういう意味かご存じですか？

公理→それを認めることにすること。証明できない命題。
定義→あるものを他のものに言い換えたり限定したり区別したりこと。
定理→公理を使って証明して導く事柄。

だから、まず定義ということはないです。
定義は、いわばただの言い換えにすぎないので。

で、公理か定理かということになりますが、
数の世界というのは、すべてはいくつかの公理からすべてが成り立つとしています。
その中にマイナスかけるマイナスがプラスになるというものを謳っているものはありません。

その公理のみを使ってマイナスかけるマイナスはプラスだということを
導くわけです。
そういうわけで厳密には証明から導くことなので定理ということになります。

もし、詳しい公理や証明などが知りたかったら、
過去ログにありましたのでそちらのNo.6の方の回答が参考になるかと思います。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa706850.html

お礼

回答有り難うございました。勉強になりました。

＞定義→あるものを他のものに言い換えたり限定したり区別したりこと。

なんですね。私は定義と公理を混同していたようです。

＞マイナスかけるマイナスがプラスになるというものを謳っているものはありません

なるほど。（－）×（－）＝（＋）を公理としている体系はないのですね。とすると必然的に定理と言うことですね。すっきりしました。

有り難うございました。

回答No.2

puchner

数学から離れて久しいですが、一応、理学部数学科出身です。

マイナスの数値をかける、というのは要は
「向きを逆転させる」
ということだと認識してました。
＃数直線だと分かりやすいですよね。

だから、定理でも定義でもなく、「性質」なんだと思います。

お礼

回答有り難うございました。

＞マイナスの数値をかける、というのは要は「向きを逆転させる」

回答者様が指摘して下さった例を含めて、（－）×（－）＝（＋）と考えないと現象がうまく説明できない事例は多数有るようです。そこでこれが定義か定理かを知りたかったのです。

＞定理でも定義でもなく、「性質」なんだと思います

これほどの多用されている事実がたかだか性質に過ぎなかった？のですね。なんか拍子抜けしてしまいそうです。

有り難うございました。

回答No.1

fjfsgh

どちらでもあり。

お礼

回答有り難うございました。

＞どちらでもあり

体系によって異なっていると言うことでしょうか？

仮に定義だとすればどのように（－）×（－）＝（＋）は導かれるのでしょうか？数学科で行われるような厳密な証明は求めていません。概略を教えて頂けないでしょうか？

仮に定理だとして、どのような定義から出発しているのですか？

有り難うございました。