定義と定理について

質問

中学２年生の子供から、定義と定理ってどう違うの？
と、聞かれあちこちひっくり返して探し説明しようとしましたが、うまく説明できず、わかってもらえませんでした。
どなたか解りやすく教えてください。

回答No.9

motsuan

stomachmanさんの回答でばっちりだと思います。
　でも、このまま終わってしまいそうなので、ほとんど、自問自答になってしまいますが、勝手に書かせていただきます。
　私が中学校のころ感じていたことは、定義は確かに教科書に書いてあるんです。でも、その定義が果たして一般的なものなのか、教科書を読む上での約束ごとなのか分からず、なにが出発点なのか分かりませんでした。なんか理科の教科書は世の中の本当のことを書いているようですが、数学は約束事をかいているようで、なんとも心もとない感じがしました。

　いまの私がその頃の私に説明するとすると、
証明はストーリーの完結した物語（短編小説？）のようなもので結末が定理で定義が登場人物のキャラクター、そしてストーリーが証明といったところでしょうか。その心は、登場人物のキャラクターは常識的な場合もあるし、そうでなく設定することも可能で、ただし、物語を面白くするためには、物語の結末にふさわし登場人物をちゃんと設定しなくてはならない。しかも、登場人物の本当の姿をきちんと浮かびあがらせるのは物語のストーリーで、結末が登場人物たちの織り成す世界をより深くするといったところでしょうか？（つまり、全部がいっぺんに決まって初めてまともな物語になるわけです。）（だから、本当に楽しい数学はひとりひとりの心の中にあるものだぁ！）
って勝手に浸ってますが、実際のアドバイスとしては、勉強の上では、「教科書にある定義に従って、ある他のことを導くことを覚えましょう。定理はその導いた内容の結果の部分のことです。これはどういうことかというと、定義をしっかり知っていないと、あるほかのこと、つまり定理を導くことができないということです。だから、まず、教科書に定義として何が書いてあるかよく見てみよう。つまり、遡って何が書いてあったか見てみましょう。書いてあった内容を組み合わせて定理を説明できれば、ここでの勉強はバッチリです。」というのかなぁ。でも、それじゃ私の問題意識の出発点の部分の答えになっていないような気もしますし。

なんか、数学的に考えることと断絶があるような気がするのです。単に論理的に考える訓練だ！パズルゲームだ！と言いきってしまえばそれでいいんでしょうけど。私が大学に入ったころ（いまから、１５年くらい前）書店には燦然とブルバキの教科書（訳本）が全巻セットでおいてありました。基本的な定義から数学全体を論理的に構成しようという試みの（すごい）本ですが、いまでは見当たらなくなりました。ひとは、論理的にのみ「数学をする」わけではないということの一端のような気もします。
ぐだぐだ書きましたが、私的には「定義は都合よくするもの」、従って、ここでの「定義」も結論（「定理」）を主張しやすいように、都合よくこのこのように定義したいと思います。

お礼

なんだか、とっても具体的で楽しい解説で、よくわからなくてもなるほどと思った次第です。
息子は、理解できたようで、納得していましたし、パズルゲームと言う言葉に、触発されたのか、証明問題に夢中になり始めました。本当にありがとうございました。