運動方程式３

質問

運動方程式の問題を解いてみて解答と違うのですが
どう違うのでしょうか？

問題
ロケットはガスを後方に噴射し、その反動で加速する。ｔ＝０で質量Mのロケットが毎秒aのガスをロケットに対し速さｖ０で後方に噴射する。ｔ秒後のロケットの速さを求めよ。ただしｔ＝０でロケットは静止している

自分の回答
ｔ秒後の速度をｖとするとロケットの質量は（M－at）となるから
運動方程式より

０＝（M－at）ｖ＋at(v-v0)

解答
ｔ秒後の速度をｖとするとロケットの質量は（M－at）となるから、ΔｔごとにaΔｔの質量を後方に放出すると考えると

（M－at）ｖ＝（M－at-aΔｔ）(ｖ+Δｖ)＋at(v-v0)

自分の回答とどう違うのか、また解答のほうの説明をお願いします

回答No.5

htms42 · ベストアンサー

＃２です。

私の出した式は
(Ｍ－ａｔ)Ｖ＝(Ｍ－ａｔ－ａΔｔ)Ｖ'＋ａΔｔ(Ｖ－ｖo)

解答に示されている式は
(Ｍ－ａｔ)Ｖ＝(Ｍ－ａｔ－ａΔｔ)Ｖ'＋ａｔ(Ｖ－ｖo)

違いが分かっていただけるでしょうか。
＃３の式（１）は私の式と同じです。

運動量保存法則をある時刻での分裂に対して当てはめています。
分裂によって離れていく物体の質量としてΔｔ　の間に放出されたガスの質量ａΔt　を考えています。ａｔとすればロケットが出発してから今考えている時間までのの間全部で放出されたガスの質量になってしまいます。

お礼

遅くなりました、丁寧な解答ありがとうございます
もやもやがとれました

回答No.6

suzukijun

＃３，４です。

本当だ！＃２さん、すみません。
私の答えは、＃２さんと同じ結論です。

pluta　さんの答えは、ガスを徐々に噴射したのではなく、ｔ秒後に一気にａｔだけ噴射した時の運動量保存の式です。

お礼

遅くなりました、質問に対して細かな説明ありがとうございます

回答No.4

suzukijun

すみません，
－－－－－－－－－－－－－－－－
よって
　ｖ＝ａｖ0×∫（Ｍ－ａｔ）ｄｔ＝ａｖ0×（－１／ａ）log（Ｍ－ａｔ）＋Ａ
－－－－－－－－－－－－－－－－
はまちがいで，
－－－－－－－－－－－－－－－－
よって
　ｖ＝ａｖ0×∫１／（Ｍ－ａｔ）ｄｔ＝ａｖ0×（－１／ａ）log（Ｍ－ａｔ）＋Ａ
－－－－－－－－－－－－－－－－
が正しいです。すみませんでした。

回答No.3

suzukijun

僕は，解答で示された
　（M－at）ｖ＝（M－at-aΔｔ）(ｖ+Δｖ)＋at(v-v0)
は，あっていると思います。

解答の式の意味は，
ｔ秒後のロケットの質量を ｍ，そのときの速度を ｖ　と置けば，運動量は　ｍｖ

それからΔｔ秒後の質量は ｍ－ａΔｔとなり，速度は ｖ＋Δｖになったとすると，
ロケットの運動量は （ｍ－ａΔｔ）（ｖ＋Δｖ）　です。

このとき，噴射したガスの質量は ａΔｔ で，速度は ｖ－ｖ0 ですので，運動量保存則は，
　ｍｖ＝（ｍ－ａΔｔ）（ｖ＋Δｖ）＋ａΔｔ （ｖ－ｖ0）　…(1)
です。
この式に，ｔ秒後の質量　ｍ＝Ｍ－ａｔ　を代入すれば解答の式です。

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ちなみに解いてみると，(1)を展開して，
　ｍｖ＝ｍｖ＋ｍΔｖ－ａｖΔｔ－ａΔｔΔｖ＋ａｖΔｔ－ａｖ0Δｔ
　０＝ｍΔｖ－ａΔｔΔｖ－ａｖ0Δｔ
よって　ｍ（Δｖ／Δｔ）＝ａΔｖ－ａｖ0　…(2)

ここで，Δｔ→０ にて，Δｖ→０，かつΔｖ／Δｔ→ｄｖ／ｄｔ なので，(2)式は

　ｍ（ｄｖ／ｄｔ）＝ａｖ0

ｍは変数（ｍ＝Ｍ－ａｔ）なので，
　ｄｖ／ｄｔ＝ａｖ0／ｍ＝ａｖ0／（Ｍ－ａｔ）

よって
　ｖ＝ａｖ0×∫（Ｍ－ａｔ）ｄｔ＝ａｖ0×（－１／ａ）log（Ｍ－ａｔ）＋Ａ
　ｖ＝Ａ－ｖ0log（Ｍ－ａｔ）
（Ａは積分定数）
ｔ＝０ にて　ｖ＝０　より，Ａ＝ｖ0log（Ｍ）

よって，
　ｖ＝ｖ0log（Ｍ）－ｖ0log（Ｍ－ａｔ）
logをまとめて，
　ｖ＝ｖ0log（Ｍ／（Ｍ－ａｔ））

ちなみに，ｖ－ｔグラフは原点を通る右上がりの曲線で，ｔ＝Ｍ／ａにてｖ＝∞になる（漸近線がｔ＝Ｍ／ａの意味）

回答No.2

htms42

運動している１つの物体が２つに分かれるというのは運動量保存の式で考えます。２つの物体が衝突して１つになるというのの逆のことが起こっているのですから衝突の式を使うことが出来ます。

時間ｔで質量（Ｍ－ａｔ）、速度Ｖの物体がΔｔ後に２つに分裂した。分裂した時の小さい方の物体の質量をｍ、速度をｖとします。大きい方の速度はＶ'に変化します。
運動量保存の式を立てると
(Ｍ－ａｔ)Ｖ＝(Ｍ－ａｔ－ｍ)Ｖ'＋ｍｖ
です。
ここでｍ＝ａΔｔ、ｖ＝Ｖ－ｖo　（ｖo＞０）です。
代入すると
(Ｍ－ａｔ)Ｖ＝(Ｍ－ａｔ－ａΔｔ)Ｖ'＋ａΔｔ(Ｖ－ｖo)
ΔＶ＝Ｖ'－Ｖ　とします。他の量に比べてａΔＶΔｔが小さいとして無視すると
ΔＶ/Δｔ＝・・・
という式がでてきます。これは微分方程式です。ｔ＝０でＶ＝０という条件で解くことができます。

解答の式も違っているように思います。

回答No.1

ZIMA0063

これは、力積と運動量の問題だと思ったほうがいいような気がしますが・・・
いかがでしょう。

お礼

おそくなりました。力積の観点からとは思いつきませんでした
考えて見ます。ありがとうございます