ロケットの最終速度について

質問

２段式ロケットで、一段目の燃料を噴射し終えた直後に一段目本体を切り離し、２段目の燃料を噴射する。一段目と二段目それぞれの燃料の質量をＭ1,Ｍ2とし、本体の質量をm1,m2とした時、最終速度はいくらになりますか？ただし、ロケットは燃料を相対速さＶ（ロケットに対して）で後方に噴射し、初速０から前進し、切り離し時に加速はなく、いずれの場合も単位時間当たりに噴射される燃料の質量はuとします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

M = M1 + M2 + m1 + m2
u　は気持ち悪いので，μとします。

重力および空気抵抗は考慮しません。

発射後　時刻 t における速度 v が，微小時間 dt の後に v+dvになったとすると，
運動量保存から

(M - μt)v = { M - μ(t+dt) }(v + dv) + μdt(v - V)

整理すると，

(M - μt)dv/dt = μV

なる運動方程式を得ます。
一様重力（重力加速度の大きさ g ）に抗する推進では，右辺に -g がつきます。

これを t = 0～M1/μ にわたって積分すると，切り離し時の速度

v1 = -V ln { (M - μt)/M } = -V ln { (M2+m1+m2)/(M1+M2+m1+m2) }

を得ます。「 ln 」は自然対数log_eです。

切り離し後は，v1を初速度としてあらためて
M = M2 + m2
とした同様の運動方程式にしたがって運動します。

最終速度 v2 は，

v2 = v1 - V ln { m2/(M2+m2) }
= -V ln [ (M2+m1+m2)m2/{ (M1+M2+m1+m2)(M2+m2) } ]

となると思います。一様重力に抗して，空気抵抗なしの推進ならば
-(M1+M2)g/μ
が付加されます。

お礼

大変分かりやすい回答をありがとうございます。二段式の方が、一段式のときより、最終速度が大きくなることが理解できました。

回答No.2

rnakamra

重力加速度が一定(ISSの高度程度ならこのように仮定しても差し支えないだろうが静止軌道ともなると正しくない)、燃料の噴射方向は常に鉛直下向きと仮定する。

微小時間⊿tの間にロケットに作用する力積は上向きを正、その時点でのロケットの質量をM(t)とすると
{uV-M(t)g}⊿t
となる。これがロケットの運動量変化⊿(M(t)v(t))と等しいとして方程式を立てればよい。
M(t)も時間変化することをお忘れなく。

お礼

回答ありがとうございます。運動量保存則を使うことは分かったのですが、質量の変化に惑わされていました。