剛体の釣り合い

質問

重力と浮力と糸の張力が釣り合うのはわかるんですけどそれをどういうふうに答えに持っていくのかがわかりません
教えてください。
長さL 密度ρの一様な細い棒ABがある。棒の一端に糸を付けて
密度ρo（ρo>ρ）の水面に浮かべ、糸を張力0からゆっくり力を加えて
引き上げる。
1、点Aが水面から高さhになった時、棒は水面とθの角度
をなしていた。sinθをL,h,ρo,ρで表せ。
２、棒が鉛直になった時のA点の水面からの高さhoを求めよ。
お願いします。

回答No.10

htms42

＃９に細くします。

＞Ｄに糸をつけて同じように力を加えた場合は幅を考えていない時と同じになります。傾いている時はＴ＝一定、ＤがＢの真上に来た時にＴ＝０です。支点と重心と作用点が同一直線上にあるからです。

これは日常経験と合いません。
力を鉛直方向上向きに加えているという条件が普通は成立していないからです。
回転方向に引っ張るように、または押すように力を加えている場合が多いですね。その場合は連続的に　力＝０　に変化します。

回答No.9

htms42

床の上の棒の場合で考えます。

棒の太さを計算に考慮していない場合、
鉛直に立っていれば　張力＝０
斜めになっていれば　張力＝重力／２
です。不連続に変化します。

でも日常生活では重いものでも傾きが小さければ支える力は小さくてよいという経験をします。２００ｋｇのバイクを片足で支えることが出来るというのもこういう経験の１つです。
上で求めた結果では少しでも傾くといきなり１００ｋｇを支える力が必要になるのですからとてもバイクに乗ることは出来ません。信号待ちが出来ません。

鉛直に立っている状態はつりあいの状態ですが不安定な釣り合いです。
棒の太さを考えると食い違いが解消できます。

細長い長方形ＡＢＣＤがあって長辺ＢＣを床に接しているとします。

Ｃに糸をつけて鉛直真上に力Ｔを加えます。Ｂを支点にして傾きが変化していきます。力は連続的に小さくなっていきます。ＤがＢの真上に来た時にＴ＝０になります。その後のＡＢが床に接するまでの運動には力はいりません。重力による回転だけで動いていきます。この範囲が安定な揺らぎの幅です。
Ｄに糸をつけて同じように力を加えた場合は幅を考えていない時と同じになります。傾いている時はＴ＝一定、ＤがＢの真上に来た時にＴ＝０です。支点と重心と作用点が同一直線上にあるからです。

浮力の場合も鉛直に立っているというのは不安定な釣り合いです。
少しでも揺らぎがあれば横に寝てしまいます。水の中に入れた棒は下に錘をつけていない限り横になって浮かびます。

棒の太さを考慮に入れると浮力のばあいでも狭い範囲で安定な揺らぎの幅がありそうです。でもまだ計算は出来ていません。

回答No.8

yokkun831

＃７さんのですっきりですね。ありがとうございました。
一方，＃３さんの論ももっともです。この場合（力制限の場合），
T=W-F=一定が，θ=0で不連続にT=0になるわけですね。
逆に勉強になりました。^^;
質問者そっちのけで混乱してすみませんでした。

回答No.7

noname#96418

＃５さんの式自体は正しいと思います。
h/sinθ、つまり水面上に出ている部分の長さが一定というのがおもしろいですね。

回答No.6

yokkun831

どうかしていますね。本当にごめんなさい。
>h0に収束します。
と思いましたが，確認できていません。
しばらくお時間ください。

回答No.5

yokkun831

細切れですみません。
θ=90°のときに，＃３さんの計算を一から（力のモーメントの式から）
やりなおしますと，両辺をcosθ=0で割る違反を犯すことになります。
経過を調べると，力のモーメントの式では
h^2=(ρ0-ρ)/ρ0・L^2sin^2θ
となりますから，hは実際45°で最大値を経て，h0に収束します。
力のつりあいで求めた結果と矛盾しません。

回答No.4

yokkun831

#2さんの「×g　が必要ですね。」

ごもっともでした。ごめんなさい。^^;

#3さんの「この問題の２番は難しいように思います。」

これまたごもっともで，これは自覚しておりました。
「ゆっくり力を加えて引き上げる。」を棒をその角度に保つ
最低限の力に制限して・・・と読みました。
おっしゃるとおり，力のモーメントのつりあいの式からすると
θ=0で異なるh0が求まるようにみえます。しかし鉛直に
立った時点での力のモーメントは両辺ともゼロに収束します
から（cosθ=0），０＝０からh0は求めることはできないと
考えました。

回答No.3

htms42

この問題の２番は難しいように思います。

１で求めた式からθ→９０°とした時の値と初めから鉛直だとしてつりあいで出したものとが一致しないからです。答えがどちらを要求しているのか分かりません。どうして食い違うのかを考えるのはまた別の問題になってしまいます。

＃１様が書いておられるのは初めからつりあっているとしたらという場合です。

これは棒が床の上にあるときでも同じです。初めから鉛直にたっているとしたら垂直抗力＝重力となって張力は必要ありません。寝ている所から徐々に上向きに引っ張ッていく場合は角度によらず張力＝垂直抗力＝重力／２です。鉛直真上が特異点のような感じのものになります。
この食い違いは棒の太さを考えることで解消できます。床との接点を針状のもので考えていると食い違いは解消できません。

回答No.2

noname#96418

ひょっとして質問者さんが困るといけないという老婆心で書くのですが、
＃１さんの浮力の式の右辺には　×g　が必要ですね。

回答No.1

yokkun831

棒が受ける力
・重力　W=ρSLg　（作用点は中心，Sは断面積）
・浮力　F=ρ0S(L-h/sinθ)　（作用点は浮心=水中部分の中心）
・張力　T
１はA点回りの力のモーメントのつりあいで求まります。
２は「ゆっくり力を加えて・・・」という条件から，鉛直になった
状態でT=0としていいでしょう。重力と浮力のつりあいで求まります。