有理化の理由

質問

分数の分母が無理数であるとき、分母の有理化という作業をよくしますが、これの目的は、
・数式を美しくするため
・数式のおおよその値を知るため
のどちらでしょうか？

数学的な観点から、よろしくお願いします。

回答No.3

BookerL · ベストアンサー

とりあえず

＞・数式のおおよその値を知るため

と考えたらいいのではないでしょうか。

　１/√２ と √２/１ を比べて、どちらが美しいか、微妙ですね。１/√２ の方が簡潔ともいえるし。

　およその値を知るには、例えば小数点以下３桁まで求める、といったとき、
　１÷ 1.4142…… の計算はずいぶん面倒ですし、商を小数点以下３桁まで求めるために、割る方の数をどこまで取っておけばいいのかわかりませんが、
　1.4142……÷２ なら、簡単ですね。

　もう一つ、「ある値を表す書き方は一つに決めておく」という考え方もあると思います。

　分数の約分なんかもこれに含まれると思うのですが、1/2 でも 3/6 でも 15/30 でも、全て同じ値を表すのに、表し方が異なっています。このままでは表し方に何通りもあって不便なので、「約分できる分数は約分して既約分数で表す」という約束事を決めておけば 1/2 という書き方だけが、「正式の表し方」になります。

　同じように、１/√２ と √２/１ は同じ値を表すので、表し方も一通りにしておこう、ということで「分母に無理数がある場合は分母の有理化を行なう」という約束事を決めた、という考え方です。

　私は以上の程度に考えていたのですが、調べると、もっと深い理由もあるらしいことがわかりました。興味があったら調べてみてください。
　　↓
http://homepage2.nifty.com/wasmath/rationalize.pdf

お礼

数の拡張の概念からの派生だとは・・・
調べてみると奥は深いものですね。

回答No.7

reiman

場合によりますが大抵は綺麗なほうがいいようです。
数学は美学なので例えば√2/2より1/√2を好みます。

お礼

ある程度までは美しさは共通してますが、有理化などの部分では曖昧になってくる部分もありますね。どちらが美しいか、意見が割れることもありそうなので。

回答No.6

Ishiwara

もともとは「値を知るため」です。

数学というものは、最終段階で「計算」をしないと、人間の役に立たないのです。今、私たちがパソコンを使って１秒でできる計算を、昔の人は、時には一生涯かかってやったものです。
それを考えると、分母の有利化がどれほどの重みを持っていたかが分かります。

お礼

そうですね。手計算では有理化をしないと到底値を求められそうにありませんから・・・

回答No.5

yanasawa

それは、分数が考えられたときの意味に端を発します。

2/3は「3等分した内の2つ分」などと考えるのが自然でしょう。
（ただし現在の定義はあるのでしょうが）

でも負の数を考え始めたとき2/(-3)、「ん？-3等分？」
だから普通、-を分数の前に出し、-(2/3)とします。

それと同じで、2/√3、「ん？√3等分？」
だから、分母は√のつかない数にします。

もちろんこれは、原始的な考えで進めているのであって、
現在では、都合のいい形にすればいいと考えるのが普通でしょう。

お礼

方程式の解として考えたときには有理化はあまり意味を持たないものだということですね。
ありがとうございました。

回答No.4

yasu2209

＃２番様の回答の４番と重なる部分ですが、私は有利化を”次数をそろえる作業”と解釈しています。

一般的に数は

a + bα　：ここで a,bは有理数、αは無理数とします

とあらわせると思います。
つまりαが√３なら　a+b√３ のような形ですね。
このような形に表現することが最も簡単な（集約された）形だと考えると　例えば

１/√２+√２　は

２＾（-1/2）+２＾（1/2）　のことですから次数が合わず、上記のような最終形にまとめることができません。
これを有利化して
1/2×√２+√２　としてやれば次数が合いますので同類項として計算が出来るわけです。

そういうわけでイメージとしては”次数をそろえて同類項を作る”という意味だと解釈しています。

お礼

人それぞれの考え方があるようですね。どれも同じものに根ざしているようにも読み取れますが。
ありがとうございました。

回答No.2

sanori

こんばんは。

１．数式を美しくするため

たしかに、そういう場合は多いですが、
√２ ／２　より　１／√２　のほうが好まれることもあります。

２．計算後、さらに具体的な値を求めるときの掛け算・割り算の手計算がしやすい

たとえば、√２＝１．４１４２１　と与えられているとき、
√２ ／２　＝　√２ ÷２　の筆算より
１／√２　＝　１÷√２　の筆算の方が大変です。

３．数式のおおよその値を知るため

これはどういう意味でしょうか。
（上記の２のことでしょうか。）

４．各項の有理化を行った後、まだ足し算・引き算の余地がないかを判断できる

たとえば、
１／√２　＋　√２ ／３　＝　√２ ／２　＋　√２ ／３
　＝　５√２ ／６

以上、ご参考になりましたら。

お礼

やはり後者の方が優勢だということですね。
ありがとうございます。

回答No.1

rabbit_cat

そういう習慣だから。

数学的な観点？から言えば、別に有利化しなければいけない理由はないです。

お礼

やはり、有理化義務ではないのですね。
ケースバイケースで考えるようにしていきます。