Frenel（フレネル）積分の証明の経路

質問

複素積分を習うなかでフレネル積分の証明があるのですが、
なぜ積分経路を８分円（角度π/4の扇形）で考えるのでしょうか？
f(z)=e^(-iz^2)として積分するからなんでしょうか？
（どちみち理由は分からないのですが；）

また、複素積分をするにあたり図を描いたほうがいいと言われますが、
はっきり言ってどう考えたらいいのか分かりません。
コツがあればついでに教えていただけたらと思います。

分かる方、よろしくお願いいたします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

Frenel じゃなくて Fresnel ですね．

具体的にどういう積分をどういう方針で求めたいのかを書かないと，
回答者にはなかなか意味が伝わりません．

察するに，
(1)　　∫{0→∞} cos(x^2) dx
　　　　 = ∫{0→∞} sin(x^2) dx
　　　　 = (1/2)√(π/2)
を知るのに
(2)　　f(z) = e^(-iz^2)
を質問の径路で複素積分して求めよ，ということでしょうか．
質問の径路は
原点(0,0)→Ａ(R,0)→半円に沿ってＢ(R，R)→直線で原点に戻る
で，R→∞と考えるのですね．
最初の直線を径路 C1，次の円弧を C2，最後の直線を C3 としておきます．

この径路でやるなら，(2)の f(z) ではうまく行きません．
(3)　　g(z) = e^(iz^2)
か
(4)　　h(z) = e^(-z^2)
を使わないとダメです．

留数定理はもちろん知っているものとして，
基本的考え方は以下の通りです．
g(z) を使うことにしましょう．
論理構成は以下の(a)～(d)です．

(a) g(z) は複素全平面で正則ですから径路内に極はなく，
径路を一周した積分はゼロです．

(b) 径路 C1 に沿った積分は
(5)　　e^(iz^2) = cos(x^2) + i sin(x^2)
を考えれば，実数部と虚数部がそれぞれ(1)の積分を与えます(R→∞として)．

(c) 径路 C2 に沿った積分は R→∞ でゼロになってくれる．

(d) 径路 C3 の沿った積分はうまいこと既知の積分に帰着する．

(e) (a)～(d)を組み合わせれば直ちに(1)がわかる．

(a)(b)はもう説明不要でしょう．
(c)は
(6)　　z = R e^(iθ) = R(cosθ + i sinθ)
とおけば，z^2 = R^2 e^(2iθ)， dz = izdθ ですから
(7)　　g(z) = exp{iR cos2θ - R sin2θ}
になります．
今は 0≦θ≦π/4 ですから，θ=0 は除いて sin2θ>0 で，
R→∞としたときに g(z) は指数関数的にゼロに近づきます．
したがって，径路 C2 に沿った積分はゼロになります．
(7)の {　} の - R sin2θの負符号が重要で，
ここが正符号だと発散してしまいます．
つまり，f(z) だとうまく行かない！

(d)に沿っては z = x + xi ですから(積分範囲が R→0 であることに注意)，
(8)　　g(z) = e^{i(x+xi)^2} = e^(-2x^2)
(9)　　dz = (1+i) dx
となり，√2 x = t とでも置けば有名な Gauss 積分
(10)　　∫{0→∞} e^(-t^2) dt
に帰着します．
ここでも，f(z) だと e^(2x^2) になってしまい発散してしまいます．

あとの細かい計算はお任せします．

> 複素積分をするにあたり図を描いたほうがいいと言われますが、
頭の中ですべてできれば図を描く必要もありませんが，
初めのうちはそうも行かないでしょう．
わずかな手間を惜しんで理解できなかったり誤解したりするのはつまらないことです．

> コツがあればついでに教えていただけたらと思います。
例題をさらっと読み流すのではなく，
上のようなことを考えながら手を動かし頭を働かすより仕方がないでしょう．
例えば，h(z) を使ったらどうなるのか，π/4 でなくて π/6 にしたらどうなるのか，
第１象限の８分円でなくて，他の象限の８分円だったら g(z) をどう修正すればうまくいくか，
などやってみると勉強になります．

この種の問題では，考えるべき複素関数と径路が与えられてないと格段に難しくなります．

お礼

いろいろとご指摘と回答ありがとうございました。
私が計算した方法ではf(z) = e^(-z^2)でした；
質問ミスです；

計算方法などは分かりますが、経路がなぜ８分円なんだろうとか、
他の複素積分とかでもなんで半円だったり、円だったりしてるの？
って思ってましたが、参考書等のは最も一般的というだけなんですね。
時間があるときにでも違うf(z)とか経路でいろいろ計算してみたいと思います。

ありがとうございました！

回答No.1

eatern27

なんでって、その経路を考えれば計算できるからでしょ。