最大せん断応力

質問

内半径r,肉厚tのガスボンベのような薄肉の容器を考え、これに内圧pがかかった状態を想定します。この容器が最大せん断応力説にしたがい、その降伏応力がσyであるとして、この容器が塑性変形をおこす内圧を求めよという問題です。

３方向の応力を釣り合いの式から
σθ=pr/t,σr=-p/2,σz=pr/2tは出せました。
最大せん断応力が(σmax-σmin)/2という定義で、σの大小関係はσθ>σz>σrというのは明らかなのですが、この大小関係は絶対値で議論するものなのでしょうか？
また(σmax-σmin)/2には絶対値の値を代入するのでしょうか？
絶対値の値で計算してみると答えはP=4Tσy/2r-tで正解でしょうか？
質問ばかりで申し訳ないですが、どなたかご教授お願いします。

回答No.2

h191224 · ベストアンサー

> σmax-σmin=σyなのでしょうか。。。

左辺を２で割らないのなら、それでOKです。

評価式の基本は、次式です。
τmax　＝　(σmax-σmin)/2　 ≦　τy　＝　σy/√3

だから、
σmax-σmin　 ≦　2σy/√3
で十分なのですが、右辺を 2σy/√3 でなく、単に σy と置くと、さらに厳しい条件になるので、実用上は
σmax-σmin　 ≦　σy
で全く問題はありません。

お礼

ありがとうございます！
理解できました。

回答No.1

h191224

最大剪断応力を求める際の３方向の主応力の大小関係は、数学的に数字を見たものになります。ですから、もし３つの主応力が、
100，　-150，　-200であるなら、
σmax＝100
σmin＝-200
τmax＝|(σmax-σmin)/2|＝|(100+200)/2|＝150
になります。

上記と異なる視点として、強度的に、どの応力成分が危険かという序列をつける場合には、
（その材料が引張と圧縮で、強度が同一の場合には）
主応力の絶対値の大きい順になります。
たとえば、上の３つの主応力の場合、
最も危険な主応力は、-200
次に危険なのは、-150
となります。

あなたの書かれた　σr=-p/2　は間違いです。表面にpという圧力が作用している場合の表面での垂直応力成分は、形状を問わず、理論的に -p です。

この問題の場合、私が計算間違いをしでかしていない限り、次式のようになるはずです。
τmax＝|(σmax-σmin)/2| ＝ pr/t + p ＝ p(r/t + 1)

計算上は以上で決着が付くのですが、最後の強度評価では要注意です。
τmaxは、剪断応力、　一方の比較する強度基準値は、σyと書かれているのですが、これは垂直応力ですか？
剪断応力は、剪断強度と比較しなければなりませんから、単純に
τmax≦σy
とはいきません。右辺は、τyでなければなりません。
そのあたりは大丈夫ですか？　あなたが書かれたσyが、実はτyなのであれば、問題はありません。
もし、そうでなければ、τyのデータを探してくるか、
τy＝σy/√3
で推定する必要があります。

お礼

詳しい説明ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。
書き忘れていましたが応力σyは材料の引張降伏応力と記されていました。
この場合はどうすればよいのでしょう？
σmax-σmin=σyなのでしょうか。。。
何度も質問して申し訳ありません。