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対称行列の方程式について
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- guuman
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AとBの取り違えとBとB'の取り違えとニュアンスの修正 A・X=-X^2-Bより X・A=X^T・A^T=(A・X)^T=(-X^2-B)^T=-(X^2)^T-B^T=-X^2-B=A・X よって (1)Aの2固有値が異なる場合には Aを対角化する直交行列によりXは対角化される さらにそのとき解が存在するためにはBも対角化されなければならないので簡単 (2)Aの2固有値が等しい場合には aをその固有値として X'^2+a・X'+B'=0(Aを直交行列によって対角化してできる方程式) すなわち (X'+a・I/2)^2=a^2・I/4-B' となる
- guuman
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何れも実なのか それならば A・X=-X^2-B より X・A=X^T・A^T=(A・X)^T=(-X^2-B)^T=-(X^2)^T-B^T=-X^2-B=A・X よって Bの2固有値が異なる場合にはXとAは同時に対角化され Bの2固有値が等しい場合はaをその固有値として X'^2+a・X'+B'=0(Aを対角化してできる方程式) すなわち (X'+a・I/2)^2=a^2・I/4-B となる 以上を踏まえて補足に解答とその過程を書け
- kup3kup3
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まず、次の命題1を用意する。 [命題1] Pが直交行列、(またはユニタリ行列)とするとき、 Aが対称行列、(またはエルミート行列)ならば P^(-1)APも、また 対称行列(またはユニタリ行列) 「証明」 {P^(-1)AP}^t=P^t・A^t・{P^(-1)}^t=P^(-1)AP よって、成立する。エルミート行列のときも同様 (証明終わり) X^2+AX+B=0 ・・・(*)とおく。 Xは対称行列なので、Xの固有値をα,β として、それぞれの固有ベクトルv_1,.v_2をGram-Schmidtの直交法で正規化すれば、 α,βの固有ベクトルからなる正規直交基底{p_1,p_2}がとれる。 Xp_1=α・p_1,Xp_2=β・p_2 これからP=(p_1,p_2)とおけば 対称行列Xは(α 0) P^(-1)AP=(0 β) と対角化できる。この右辺の対角行列を Yとおく。 (*)の両辺に左からP^(-1)、右からPを掛けて、 (P^(-1)XP)^2+{P^(-1)AP}{P^(-1)XP}+P^(-1)BP=0・・・(#)となる。 A,Bが対称行列だから[命題1]より、P^(-1)AP,P^(-1)BPも対称行列。 そこで、C=P^(-1)AP,D=P^(-1)BPとすれば, C,Dは対称行列で(#)は Y^2+CY+D=0 ・・・(b)となる。 (α 0) (a c) (e d) Y= (0 β)なのでC=(c b) ,D=(d f) ・・・(b)とおくと、 (b)は (α^2 0) (a c)(α 0) (e d) ⇔ (0 β^2) + (c b)(0 β) + (d f) =0 ⇔{α^2+aα+e=0 ・・・(1) cβ+d=0 ・・・(2) cα+d=0 ・・・(3) β^2+bβ+f=0・・・(4) これをα,βの連立方程式として解く。 (2)-(3)として、c(β-α)=0 ・・・(5) (ア)c=0のとき (2)(3)から d=0 よって対称 (a 0) (e 0) C=(0 b) ,D=(0 f) で(1)かつ(4) この後はまかせます。 (イ)c≠0のとき (5)(2)(3)から α=β=-d/c (1)(4)に代入し、 e=d(ac-d)/(C^2),f=d(bc-d)/(C^2)となる。 よって e≠d(ac-d)/(C^2)またはf≠d(bc-d)/(C^2)のときは 解なし。 あとはまかせます。求める行列を対角化してα,βの連立方程式にしたというわけです。 でもまだ面倒なようです。
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