微分の数式と、同符号

質問

こんばんわ。お聞かせください。

「f(x) = [√(x^2+1)]+(2-x)/2 」

「f'(x) = 2x/[2√(x^2+1)]-1/2 =[2x-√(x^2+1)]/2√(x^2+1) 」

ここまでは分かるのですが、

「よって、f'(x)は、(2x)^2-[√(x^2+1)]^2 = 3x^2-1 と同符号である。」

というのが理解できません。
急に、「f'(x)は、(2x)^2-[√(x^2+1)]^2 」の式がどこから出てきたのかも分かりませんし・・・
あと、符号が影響するのは、分子の［2x-√(x^2+1)〕なのではないのでしょうか？なぜコレではダメなのでしょう。。？

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

f'(x)は、3x^2-1 と同符号ではありせん。
x≧0 であれば、同符号です。
(厳密には、x＞-1/√3）
......
>> (2x)^2-[√(x^2+1)]^2 がどこから・・・。

f'(x)の分子を有理化した形としか思われませんが。
f'(x)
=[(2x-√(x^2+1)(2x+√(x^2+1)]/[(2√(x^2+1))(2x+√(x^2+1)]
=[4x^2-x^2-1]/[(2√(x^2+1))(2x+√(x^2+1)]
=[3x^2-1]/[(2√(x^2+1))(2x+√(x^2+1)]

>> 符号が影響するのは、分子の［2x-√(x^2+1)]では・・・。
yes.
x≧0の条件があれば、分子の有理化した形が若干速いかも？
x≧0の条件がなければ、分子の有理化は無意味です。
......

お礼

確かにx≧0のときに同符号ですね・・・

有利化を行なっていたのですね！
有理化が条件によって良し悪しがあることを初めて知りました。
冷静に落ち着いて、もう一度数式を見渡してみるコトがとても大切なのですね。

とても分かりやすい回答をありがとうございました。

回答No.1

glarelance

f'(x)＝[2x-√(x^2+1)]/2√(x^2+1)
なので、
1＝[2x+√(x^2+1)]/[2x+√(x^2+1)]
をf'にかけると、

f'(x)は、(2x)^2-[√(x^2+1)]^2 = 3x^2-1

という議論が発生するということです。

お礼

つまり、有理化をしていたわけですね。。
盲点でした・・ありがとうございます>_<、