ヘロンの公式の証明方法について

質問

ヘロンの公式の幾何的証明において
sinA=√1-(b2+c2-a2/２bc)2が√２b2c2+２c2a2+２a2b2-a4-b4-c4/２bcに展開する過程と
ヘロンの公式右辺=√a+b+c/２*-a+b+c/２*a-b+c/２*a+b-c/２
=√{(b+c)2-a2}{a2-(b-c)2}/４
=√a2{(b+c)2+(b-c)2}-a4-{(b+c)(b-c)}2/４
=√a2(２b2+２c2)-a4-(b2-c2)2/４
　　　　　　　　=√２b2c2+２c2a2+２a2b2-a4-b4-c4/４に展開する過程がどうしても理解できません。「因数分解」だと思い、いろいろ調べましたが、解読にはいたっておりません。解りやすい回答をお願いします。

回答No.4

debut · ベストアンサー

Ｎｏ２です。
展開の過程を書けばよかったのですね。
(A+B+C)^2や(A+B)(A-B)の展開などで。

sinＡの方
まず(2bc)^2で通分すれば、根号内の分子は
(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2
<<(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2BC+2CAを使って>>
=4b^2c^2-(b^4+c^4+a^4+2b^2c^2-2c^2a^2-2a^2b^2)
=2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4

右辺の方の根号内の分子
(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
={(b+c)+a}{(b+c)-a}*{a-(b-c)}{a+(b-c)}
<<(A+B)(A-B)=A^2-B^2を使って>>
={(b+c)^2-a^2}*{a^2-(b-c)^2}
<<後半を-1でくくって>>
=-{(b+c)^2-a^2}{(b-c)^2-a^2}
=-(b+c)^2(b-c)^2+(b+c)^2a^2+(b-c)^2a^2-a^4
<<a^2部分をまとめつつ、並び替え>>
=a^2{(b+c)^2+(b-c)^2}-a^4-(b+c)^2(b-c)^2
=a^2(b^2+2bc+c^2+b^2-2bc+c^2)-a^4-{(b+c)(b-c)}^2
=a^2(2b^2+2c^2)-a^4-(b^2-c^2)^2
=2a^2b^2+2c^2a^2-a^4-(b^4-2b^2c^2+c^4)
=2b^2c^2+2c^2a^2+2a^2b^2-a^4-b^4-c^4

以上です。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
一つ一つ白紙に書き写しながら確認して行き、全ての式がやっと理解出来ました。debutさんのおかげで頭の中のモヤモヤを取り除く事が出来、今は気分爽快です。そして今後も数学の問題に対して粘り強く取り組んで行こうと言う気になりました。今回は丁寧なご回答本当にありがとうございました。　　※No2の回答も理解する事ができました。

回答No.3

take_5

＞ヘロンの公式の幾何的証明において

本当に“幾何的証明”なら、こちら↓。どうでもいいが、君の証明は“代数的証明”になる。

http://yosshy.sansu.org/heron2.htm

回答No.2

debut

^2 は２乗です。
展開してイコールだ、とやると複雑になってしまうので、因数分解しながら面積公式を変形したほうがすっきりです。
余弦定理から、
sinＡ＝√[1-{(b^2+c^2-a^2)/(2bc)}^2]
通分して
＝√[{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}/(2bc)^2]
分子を因数分解して<<公式Ａ^2ーＢ^2＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ－Ｂ)>>
（Ａを2bc、Ｂをb^2+c^2-a^2とみます。）
＝√[(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)/(2bc)^2]
＝{1/(2bc)}√{(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)}
ここで、やはり<<公式Ａ^2ーＢ^2＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ－Ｂ)>>で
2bc+b^2+c^2-a^2=(b+c)^2-a^2=(b+c+a)(b+c-a)
2bc-b^2-c^2+a^2=-(b-c)^2+a^2=a^2-(b-c)^2=(a+b-c)(a-b+c)
と因数分解できるので、
sinＡ＝(1/2bc)√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

三角形の面積は(1/2)*b*c*sinＡだからｂｃは約分され
Ｓ＝(1/4)√(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
と、ヘロンの公式になります。
2s=(a+b+c)とすれば√{s(s-a)(s-b)(s-c)}です。

回答No.1

nettiw

ヘロンは展開すると、２度手間になります。
余弦定理の形を崩さずに、
(S^2)を計算すれば、途中の√　は回避できます。
因数分解は、展開した形よりは、まだましと思います。
以下、書いてみます。

S=(1/2)bc・sinA・・・[０度＜A＜１８０度、S＞０]

4(S^2)
=(b^2)(c^2)・[(sinA)^2]
=(b^2)(c^2)・[1-((cosA)^2)]
=(b^2)(c^2)・[1-{(c^2+b^2-a^2)/2bc}^2]
=(b^2)(c^2)・[{(2bc)^2} -{(c^2+b^2-a^2)^2}]・[1/{4(b^2)(c^2)}]
=(1/4)[{(2bc)^2} -{(c^2+b^2-a^2)^2}]

16(S^2)
=[{(2bc)}-(c^2+b^2-a^2)}][{(2bc)}+(c^2+b^2-a^2)}]
=[a^2-(b-c)^2][(b+c)^2-a^2]
=(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)(b+c+a)

s=(a+b+c)/2,,,
2s=(a+b+c)
(a+b-c)=(a+b+c)-2c=2s-2c=[2(s-c)]
(a-b+c)=(a+b+c)-2b=2s-2b=[2(s-b)]
(b+c-a)=(a+b+c)-2a=2s-2a=[2(s-a)]

16(S^2)=[2(s-c)][2(s-b)][2(s-a)][2s]
(S^2)=s(s-a)(s-b)(s-c)
　S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] .......... 。