１÷３＝？？？

質問

１÷３＝０・３３３・・・、０．３３３・・・×３＝０．９９９・・・
となると思っていましたが、調べてみると、
０．９９９・・・＝１という答えがありました。
その証明はどのようなものなのでしょうか。
素人なので質問が変かもしれませんが回答よろしくお願いします。

回答No.10

gootaroh · ベストアンサー

要するに「1÷3」には二通りの表現方法があり、一つは「0.333・・・」と小数で表す方法、もう一つは「1/3」と分数で表わす方法ですよね。表現方法の違いだけのことで、数値としては当然全く同じです。

それを2倍しようが、3倍しようが、元々同じ数値（数「値」ですよ。数「字」じゃありません）ですので、その答えも当然等しいわけです。

ですので、0.333・・・×3の「0.999・・・」も、（1/3）×3の「1」も、表現方法は異なりますが、数値としては、100％、完璧に同一なのです。

でも、「0.999・・・」と「1」とではほんの少しだけ差があるはず、「0.999・・・」の方がほ～んのちょっとだけ小さいのでは？と思ってしまいますよね。

確かに「等しい」ということはイコールであり、引き算をしても「差がない」ということですが、「1」と「0.999・・・」の場合は、正確に言うと「差がない」のではなく、「差を指摘できない」ということなのです。

だって、「0.999999999・・・」という具合に無限に「9」が続くわけですから、仮に差を指摘できたかにみえても、次の瞬間にまた「9」がどんどん出現するので、永遠に差を指摘することができないわけです。

別の言い方をすると、「差がある」ということは、「0.999・・・ < A < 1」の「A」を指摘できるという意味です。でも、「9」と「10」の間にはもう数字はありませんよね。

もし、どうしても「差があるはず」と考えてしまうのであれば、いっそのこと、逆に「1－0.999・・・」を計算してみてください。その答えは「0.00000000・・・」とゼロが無限に続きますよね。
「差があるはず」ということは、言い換えれば、この無限に続くゼロの、いつか最後に「・・・1」が来るということですよね。でも、それではもはや「無限」とは言えません。有限です。

ということで、「0.999・・・」と「1」は100％イコールです。
ただ、だからといって、「0.333・・・×3」の答えを「1」と表現するのは、個人的には好みません。
もちろん数値としては同一なので、完全に正解ですけれど、個人的には「（1/3）×3」が「1」であり、「0.333・・・×3」はあくまで「0.999・・・」と表現するのが自然なのではないか、と感じています（あくまで個人的な"思い"です。数学上はどちらでも正しいです）。

理由は簡単。だって小学生のころ九九で「『さざん』が『きゅう』」と習いましたからね。それだけです。

「証明」というほど大したものではありませんが、一つの考え方として、ご参考になさってください。

お礼

ありがとうございました。
参考になりました。
心のもやもやが晴れた気がします。
確かに計算すると０．０００・・・ですね

回答No.16

noname#66790

No.9です。
確かにあれだけでは全く不十分ですが、誰にでもわかるレベルとしては最も簡単なものだと思います。
大学で数学を学んだとき、真実が見えてくるかもしれません。
ただ、私は文系なのでその辺の知識はありません。

回答No.15

ousa

ANo.2です

＞ＰＣ初心者なので見方が分からず・・・
青い文字のURLにカーソルを合わせます。指の形に変ったらクリックします。

以前同じような質問があり、その時に私が買いた回答を貼っときます。
　質問の答えではないですが、中学生の当時０．９９９・・・の循環数は１に限りなく近いが１ではないと教わりました。

１＝０．９９９９９９９９・・・（実生活編）証明

　レンタルビデオ店で１本ビデオを借りると、１０枚で１本無料で借りられる補助券をくれるビデオ屋さんがあったとします。補助券でビデオを借りた際にも１枚補助券が付いてきます。つまり実質９枚で１本借りられる事になります。補助券１枚あたり価値は１÷９で０．１１１・・・です。それが９枚あるから９枚の価値は０．９９９・・・になります。０．９９９・・・で１本のビデオを借りれるので１＝０・９９９・・・が成り立つのです。

追記：このような質問をする際は、大まかな学年だけでも書いないと回答者側も適切な答え方が出来ません。

お礼

すいませんでした。
今後は気をつけます。
なるほど、そういうことですね。大体分かりました。

回答No.14

noname#63284

その証明って、0.999…＝1の証明でよいのですよね～。
まず、「…」の意味をきちんと定義しないと証明のしようがないですよね。

「…」というのは、極限で定義するのでは～。

「極限」というのは、つまり、0.9、0.99、0.999、0.9999、という一連の数列を考えたときに、最後にはどんな値になるかということですね。

で、もしかりに、0.999…≠1だったとしましょう。
つまり、0.999…は1に近づいていくはずだけど、力及ばず到達できなかったというわけです。その差をd≠0とおきましょう。

dは小さい数ですが、0ではないので、0を沢山（n個）つけて、
d＞0.00000…0001とおけます。

すると、1-0.999…=d>0.00000…0001=1-0.99999…9999 （9がn個）ということになり、0.999…>0.99999…9999（9がn個）ということになってしまい、これは…がずっと続くということに矛盾してしまいます。

この矛盾は、0.999…≠1としたことに起因するので、この仮定が間違い、すなわち、0.999…＝1が証明されたことになります。

お礼

ありがとうございました。
・・・には深い意味があるんですね。
それが大事とは気づきませんでした。

回答No.13

gootaroh

No.10です。再び失礼します。No.12様、若干補足させていただくことをお許しください。
>0,3333333.... = 1/3 がよいなら 0,9999999... = 1/1 も構いませんね。
・という部分ですが、「0.333・・・＝1/3」と「0.999・・・＝1」とでは、微妙に異なる気がします。

というのは、「0.333・・・」は「1/3」の計算結果でもありますが、「0.999・・・」は「1」あるいは「1/1」、もっというと「3/3」の計算結果ではありませんよね。

御質問者様のお気持ちとしては（私も昔そうでしたが）、「0.333・・・＝1/3」は、左辺も右辺もキリが悪いので、逆に違和感はない。でも、「0.999・・・＝1」の場合、左辺はキリが悪いのに、右辺はピッタリ「1」だ。これをイコールだと言い切るのはちょっと・・・、ということではないでしょうか。

ですので、No.10で回答したとおり、「イコールではない」ということは、引き算した時に「差がある」という意味ですので、では引き算をしてみましょう、ということになるわけです。

引かれるものが小数ですので、引くものも小数にしないと、計算しづらいですよね。

もし、「1」を小数（1.000・・・）と考えれば「1-0.999・・・」の計算を試みることはできます（もっとも、「0.000・・・」とゼロが無限に続くので、いつまで経っても計算は終わりませんが。）。

しかし、「（1/3）-0.333・・・」という引き算は、いったん「1/3」を頭の中で「0.333・・・」と変換してから引くでしょうから、結局、「同じものを引き算する」ので答えは「0」のはず、という思考手順だと思います。

ですので、
>0,3333333.... = 1/3 がよいなら 0,9999999... = 1/1 も構いませんね。
>１ も 一 も one も Eins も同じ数を別の書き方で書いただけでしょう。
・という考え方は、若干飛躍しているかもしれません（No.12様、ごめんなさい！）。

少し文系的な言い方をすれば、むしろNo.7様の
>0.999...は「1より小さいどんな数よりも1に近い数」である，と考えます．つまり，0.999...よりも1との距離が小さい数は，（少なくとも有限個数の数しか扱えない世界には）存在しないのです．なら，それを1そのものとしてもいいんじゃないか．
・厳密な数学上な話は別として、イメージとしては、これが適切なのでは、とも思いました。

このご回答は、No.10の私の回答でいうところの「『差がない』のではなく、『差を指摘できない』というべき。だから両者は100％一緒、完全にイコールと考える」に近いですね。例え差を指摘したくても、「9」より大きな一桁の数字はないので、もはや差を指摘できないわけです。

お礼

ありがとうございました。
いろいろな方が言われているように計算してみるのがいいようですね。

回答No.12

BASKETMM

No.8 です。
ふと思いました。
0,9999999...... = 1 と書いたらいけないのでしょう。何がおかしいのでしょう。どうしておかしいと感じるのでしょう。

0,3333333.... = 1/3 はよいのですか。おかしくありませんか。

0,3333333.... = 1/3 がよいなら 0,9999999... = 1/1 も構いませんね。
つまり、0,999999.... = 1　もよいですね。他の方も書いておられましたが、１と０．９９９９９９．．．．．は同じ数を別の書き方をしただけなのです。１ も 一 も one も Eins も同じ数を別の書き方で書いただけでしょう。

お礼

ありがとうございました。
小学生の頃からのイメージとして３／３＝１でも０．３３３・・・×３＝、、、が残っています。
間違ってないというのは分かりますが、腑に落ちないところはあります。

回答No.11

Ishiwara

0.9999‥
は略式の書きかたですが、これは
lim(整数i＝0 to ∞)Σ0.9/10＾i
と同じである、と約束されています。

ここで、どんなに小さい正のεに対しても、Σが1-εを超えるような有限のｉが存在する」場合には、limΣ＝１と書くことが許されます。だから
0.9999‥＝１
と書いてよいわけです。

お礼

ありがとうございました。
ロシア語みたいな記号は何なんでしょうか？
すみません、素人で。

回答No.9

noname#66790

[証明]
(1/3)×3＝1　(1)
ここで、(1/3)＝1÷3＝0.333・・・　(2)

従って、(1)、(2)より、
0.333・・・×3＝0.999・・・＝1
が成り立つ。
[証明終]

お礼

ありがとうございました。
これだけでいいんですか？

回答No.8

BASKETMM

１．数とは何でしょう。
２．どんな数が存在するのでしょう。
３．その数をどのように書き表すのでしょう。
こんな事は素人には答えようがありません。しかし、数学（数学は一種の思想表現方法、つまり一種の言葉です。）の本を読んで、
書いてあることを私たちの日本語に翻訳してみれば次のようになりました。

４．0,9, 0,99, 0,999, 0,9999 などは私たち何回も書いたことがあるし、見たことがありますね。しかし 0,99999が無限に続く数を見たことは
ありません。とても書けません。そこで、0,999999..... と書いて、
読み手の想像に頼っています。想像された数を（そんな数があるとすれば）『0,9999... 』と書いても、『Ｋ』と書いても、『ソウゾウ』と書いても、
かまわない訳です。どうせ想像上の数です。

５．さてここで考えます。１と云う数と『ソウゾウ』と云う数を区別する必要がありますか。１を三倍すれば、３ですね。『ソウゾウ』を
３倍しても３です。その他どんな計算に使っても、両者に違いは出てきません。
６．それなら、１と『ソウゾウ』は同じものだと云えばよいのではありませんか。つまり１と０，９９９９９９．．．は同じもので区別が出来ないと云えませんか。

お礼

ありがとうございました。
簡単に考えていたのですが奥が深いというか何と言うか・・・
難しいですね、、、

回答No.7

ltx78

「0.999... = 1」は，そのように扱う「きまり」になっています．

と言ってしまうとここで終わってしまうので，私なりの0.999...に対するイメージを簡単に述べてみます．
数学的な厳密さはあまり考えず乱暴に表現してしまうなら，
0.999...は「1より小さいどんな数よりも1に近い数」である，と考えます．
つまり，0.999...よりも1との距離が小さい数は，（少なくとも有限個数の数しか扱えない世界には）存在しないのです．
なら，それを1そのものとしてもいいんじゃないか．

という感じで，私は「0.999... = 1」をとらえています．
所詮はイメージなので，曖昧さ・突っ込みどころは多数あると思いますが…．

お礼

ありがとうございました。
やはり、きまりですか。数学にはいろいろ微妙なところがありますね。

回答No.6

aidlii

進法の問題でもあるんでしょうね。１０進法だと、１÷３は割り切れませんが、３進法だと３は１０ですから、１÷３は１÷１０になって０．１。これに３を掛けるとは１０を掛けることですから、０．１×１０＝１ということで何の問題もありません。
　ちょっと横道にそれますが、０．１だって０．１０００００００…と０が続いていると見なすことも出来ます。有理数つまり整数÷整数は、循環小数つまりどこかで繰り返しになる少数で表せるということになります。なぜかという証明は、多分、高校の数学Iの教科書に出てると思います。
　００００…以外の循環小数になるのは、どういう数かという問題は、何進法かということで決まるのでしょう。

お礼

ありがとうございました。
３進法ですか。
難しいことは高校でがんばります。