どうしてもわからなく困っています。

質問

以下の問題なのですが１、ではどう評価していいか方針が立たず、２，ではどのようにすればガウスが消せるのかわかりません。
解答がなく困っています。どうか宜しくお願いします。

実数αについて[α]はを超えない最大の整数とする。

既約分数p/q（0<p<q）について、数列｛an｝（0≦an<1）を

　　an=np/q-[np/q] , n=1,2,3,…..

とおく。

１．n-mがqで割り切れるとき、an=amを示せ。

２．a1,a2,a3,….,aqは相異なる個の和であって、さらに

a1+a2+…..+aq=(q-1)/2

が成り立つことを示せ。

回答No.4

momordica

2についてですが、
まず、pとqが互いに素であることよりnp/q が整数になるのはnがpの倍数の時だけですから、

1<=n<=q-1 のとき 0<an<1 , n=q のとき an=0　 …(1)

となります。求める和をSnとおくと、aqは0なので、

Sn=a1+a2+a3+…+a(q-1)

です。　ここで、これと加える順番を逆にしたものを足してみます。

Sn = a1 + a2 + a3 + … + a(q-1)
+) Sn = a(q-1) + a(q-2) + a(q-3) + … + a1
―――――――――――――――――――――
2Sn = (a1+a(q-1)) + (a2+a(q-2)) + (a3+a(q-3)) + …+ (a(q-1)+aq)
=Σ(k=1→q-1)(ak+a(q-k)) … (2)

　　　（ Σ(k=1→n)(ak) = a1+a2+a3+…+an )

さて、ここで出てきた ak+a(q-k) (k=1,2,…,q-1) についてですが、anの定義より、

ak+a(q-k) = kp/q-[kp/q] + (q-k)p/q-[(q-k)p/q]
= p -[kp/q] -[(q-k)p/q]

p , [kp/q] , [(q-k)p/q] はすべて整数ですから、 ak+a(q-k) も整数です。
ところが、（１）より 0<ak<1 , 0<a(q-k)<1 ですから、 0<ak+a(q-k)<2 となるので、
1<=k<=q-1のすべてのk について、

ak+a(q-k)=1

となります。したがって、（２）式より

2Sn=Σ(k=1→q-1)(1)
=q-1

Sn=(q-1)/2

こんな感じでいかがでしょうか。

回答No.3

banakona

＃２です。乗りかかった船なので２もやってしまいました。ただ、答案としては難があるので、数学っぽく整理してください。

１．の結果（特に(4)(5)）から、ｎ－ｍがｑで割り切れなければａn≠ａmも言えることが分かる。
a1,a2,a3,….,aqから任意の2個を選んで、これらをｎ，ｍとするとｎ－ｍはｑで割り切れない。
　よってa1,a2,a3,….,aqは全て相異なる。　・・・（＊）

　さて、a1,a2,a3,….,aｑは、1/q,2/q,3/q,・・・、(q-1)/q,０を適切に並べ替えたものに過ぎない。なぜなら、・・・
・数列｛ａn｝の定義から、ａｎはp/qをｎ倍したものの小数部であり、（＊）により、これらの中に重複は無い。
・p/qをｎ倍したものの小数部はｑ種類しかない。
　　※「小数部」がピンとこなければ、np/qを帯分数に直したときの、整数を除いた部分と思ってください。そうすれば、1/q,2/q,3/q,・・・、(q-1)/qしかないのは明らかです。おっと、ゼロをお忘れなく。
以上から、a1,a2,a3,….,aｑには、1/q,2/q,3/q,・・・、(q-1)/q,０が漏れなくかつ重複なく現れる。
　よって
　a1+a2+…..+aq＝1/q＋2/q＋3/q＋・・・＋(q-1)/q＋０＝・・・

回答No.2

banakona

１だけですが、優等生っぽくない回答を。

　０≦ａn＜１　　・・・(1)
　０≦ａm＜１　　・・・(2)
は数列｛an｝の定義から明らかですね？　(2)の各辺に－１をかけて順番を逆にすると
　－１＜－ａm≦０　　・・・(3)
(1)+(3)
　－１＜ａn－ａm＜１　・・・(4)
等号の有無が気になるかもしれませんが、落ち着いて考えればこれでOKだと分かります。
次にａn－ａmをまともに計算します。
　ａn－ａm＝np/q-[np/q] －ｍp/q-[ｍp/q]
　　　　　＝（n－ｍ）p/q-[np/q] -[ｍp/q]　・・・(5)

(5)は３つの項からできていますが、第２項、第３項は共にガウス記号なので整数。第１項はｎ－ｍがｑで割り切れるので、これも整数。よって(5)は、整数から整数を２個ひいているので、やはり整数。
つまりａn－ａmは整数。(4)を満たす整数は０しかないのでａn－ａm＝０。よってａn＝ａm

回答No.1

Ama430

１．an-am=0を示します。

n-m=bq とすると n=m+bq より
(np/q-[np/q])-(mp/q-[mp/q])
=(n-m)p/q-[(m+bq)p/q]+[mp/q]
=bp-[mp/q+bp]+[mp/q]
=bp-[mp/q]-bp+[mp/q]
=0

２．ちょっと考えただけではわからなかったのですが、

p/q + 2p/q + 3p/q +....+ pq/q =(p/q)×q(q+1)/2=p(q+1)/2
なので、
[p/q]+[2p/q]+[3p/q]+....+[pq/q]=p(q+1)/2-(q-1)/2
を示すことと同値です。

pとqの関係で同じ数字が何個続くか変わるので、
q=bp+c (c<p)
q=dc+e (e<c)
などと表して変形してみてはどうでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
私もさっきp,qが自然数であることに気づき１は解けました。

２は変形などしてがんばってみます。
ちなみに私はa1+a2+......+a2q=2(a1+a2+.....+aq)
として１を利用しようと思ったのですがいかがでしょうか。