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二次方程式 解の公式の適用
はじめまして、類似の質問も多々あったのですが どうしても自力で答えにたどり着けないため質問させてください。 問題は 3x^2-12x+15-p=0 についてxを求めよといったもので 答え(模範解答)は x=(6±√3p-9)/3 となります。 上記の問題とその答えなのですが、二次方程式の解の公式を適用すると (12±√36-12p)/6 となりそうなのですが この後の約分(?)かどうか、正解にたどりつくまでのプロセスがわからず路頭に迷っています。。 どうかご教授ください、よろしくお願い致します。
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1.解の公式の計算が違います 解の公式 y=ax^2+bx+c のとき y={-b±√(b^2-4ac)}/2a 特に、y=ax^2+2bx+c のとき b'=(1/2)bとして y={-b'^2±√(b'^2-ac)}/a 前者の解の公式を用いた時、ルート内の計算式は (-12)^2 -4*3*(15-p) =12p - 36 になるので、全体としては y=(12 + √(12p -36))/6 になります。 2.ルートの基本は √(a^2)=a です。なので、ルート部分の計算は √(12p - 36) =√(4*3p - 4*9) =√{(2^2)*3p - (2^2)*9} =√{(2^2)*(3p - 9)} =2√(3p -9) になります。 よって y={12±2√(3p-9)}/6 ={6±√(3p-9)}/3 になります。 うっかりミスだと思いますが、おや?と思った時は、丁寧に見直してみるとテストでも点数がとれるようになりますよ。 あと、√36-12pと書くと、ご自身では分かっていても、36にしかルートが掛っていないと表わされてしまうので、しっかりカッコでくくりましょう。
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答えの簡単な検算方法: 解と係数の関係を用います。 2次方程式Ax^2+Bx+C=0の解がα、βのとき、α+β=-B/A つまり二つの解を足し算(平方根が消える)が12/3=4になれば正解である可能性が高いです。 前回答で√(a^2)=aとありますが、これはa≧0の時だけ成立します。 a<0の時は√(a^2)=-aです。念の為。
お礼
検算方法のご教授ありがとうございます。 参考にさせて頂きます。
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一応、ルートの計算をもう一度書いておきます 1. √(a^2)=a √(a^2)=√(a*a)=a √(a*a)=(√a)*(√a)=(√a)^2=a 2. √(a^2*b + a^2*c) =√{(a^2)*(b+c)}=a√(b+c) √(a^2*b + a^2*c) =√{a*a}*(b+c)}=a√(b+c) √(a^2*b + a^2*c) =√{a*a}*(b+c)} =(√a)*(√a)*(√b+c) =(√a)^2 *(√b+c) =a√(b+c) 1番、2番のそれぞれは同じものですけどね
お礼
大変ご丁寧な説明ありがとうございます! 非常にわかりやすい解説ですんなり理解できました。