偽コインの問題(長文失礼します）

質問

外見上は見分けがつかない金貨が7枚あり、この中の5枚は本物で同じ重さ、残り2枚が偽物で本物より軽いことがわかっている。偽物2枚の重さが同じであるとすると、この偽物2枚を確実に選び出すためには天秤を何回使わなければならないか。ただし、天秤を使う回数はなるべく少なくなるようにするものとする。
解説：まず、7枚を3枚・2枚・2枚に分ける・・・答えは3回
私　　：7枚を3枚・3枚・1枚に分けて3回(どこかで間違えている？)

類似問題では…
●10枚中1枚偽物で、偽物は本物より軽い。天秤の使用回数はなるべく少なくする。
解説：10枚を2・4・4枚に分ける・・・答え3回
私　　：10枚を4・3・3枚に分けて、失敗
●10枚中2枚偽物で、偽物は本物より軽い(偽物2枚は同じ重さ)。天秤の使用回数はなるべく少なくする。
解説：10枚を4・3・3枚に分ける・・・答え4回
私　　：10枚を2・4・4枚に分けて、失敗

当然、10枚だった金貨が27枚や28枚になっても、左右の天秤皿に同数で乗せられる最大枚数13枚ずつに振り分けてしまい、誤った答えを導いてしまいます。

「3枚から1枚選ぶのは1回で済む。」と「2枚から1枚選ぶのは1回で済む」の使い分けができていないからではないか、と思うのですが。
問題文のどこに目を付ければどちらの条件を使うか判断できるのでしょうか。
それとも他に見落としや誤りがあるのでしょうか。

算数、数学全般が苦手なので以下の類似問題の回答(http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=30706)を見ても問題解決できません。

回答No.5

Quattro99 · ベストアンサー

あまりよく考えていないのですが参考になれば。

1回でわかる情報は、釣り合う、右が重い、左が重いの3通りです。2回では3^2=9通り、3回では3^3=27通りです。
最初の問題では7C2=21通りの場合がありますから、最低でも3回は必要ということになります。
また3回でやるには1回目をやった時点で残る可能性が9通り以下、2回目をやった時点で残る可能性が3通り以下になっていなければいけません（そうなっていても出来ない可能性もあります）。

1回目に3個ずつで計った場合、釣り合えばそれぞれに1つずつ軽いのがあることになり3*3=9通りに絞られます。釣り合わなかった場合、軽かった方に1個か2個軽いのがあることになり、それぞれ3通りの計6通りに絞られます。いずれにしても9通り以下に絞られるので、出来る可能性があります。
実際に出来ることは#4さんが示されています。

お礼

ご回答ありがとうございます。またお礼が遅くなり失礼しました。
実際に場合分けをして、見落としてしまったときの確認もできる方法ですね。
場合分けで見落としをする事の多い私には画期的な考え方です。
とても参考になりました。ありがとうございました。

回答No.4

redowl

３-３-１のグループ分けでいいのでは？　◯＝本物　●＝偽（軽い）
組み合わせを考えると　下記の３通り
　　（１）　（２）（３）←グループ
A　◯◯◯　◯◯●　●
B　◯◯◯　◯●●　◯
C　◯◯●　◯◯●　◯

A,Bパターンの場合
天秤　１回目で
A1-A2 と　B1-B2は、　重い方のA1,B1が◯◯◯　なので３個全部本物が判明
軽いものが混じっているパターンが 　　A2◯◯●　と　B2◯●●　のどちらかに限られるから
３個の中から　２個選び出し　天秤２回目で　一個同士で比較

天秤が傾けば、　軽い方がニセモノ　さらに　天秤３回目で　残の二つを調べる。

つりあえば　◯◯　若しくは　●●　　　　　最後に残っている２個が　●●　か　◯◯なので
天秤に乗せている２個を一緒にし　　残の２個ペアを計りにかけて　天秤３回目で判別可能

Cパターンの場合
◯◯●　◯◯●　◯
１回目でつりあうから　、残された１個は本物
◯◯●　が２組あるから　２回目、３回目で　判断出来る。

お礼

ご回答ありがとうございます。またお礼が遅くなり失礼しました。
とても丁寧に書いていただき問題集の解説より分かりやすかった気が…。
自分がミスをしてしまいがちなところなどもよく理解できたと思います。
ありがとうございました。

回答No.3

shippo_ppk

書き忘れかもしれませんが、本物より軽い2枚の偽物を見つける場合「3枚から1枚選ぶのは1回で済む。」と「2枚から1枚選ぶのは1回で済む」には条件が必要です。

「2枚から1枚選ぶには1回で済む」は、偽物が１枚だけ混ざっていることが明らかな場合だけです。2枚の硬貨同士を比較して等しい場合には、２枚とも本物なのか、２枚とも偽者なのか判断できません。
「3枚から1枚選ぶのは1回で済む。」も同様に、偽物が１枚だけ混ざっていることが明らかな場合だけです。３枚の内の2枚の硬貨を比較して等しい場合には、２枚とも本物なのか、２枚とも偽者なのか判断できません。

補足説明をお願いします。３グループに分けるという条件があるのでしょうか。グループ数は任意なのでしょうか？

補足

(1)偽コインの問題では、天秤にかけず残す山も作る。
(2)事前に場合をきちんと分ける。
(3)1回目で同じ結果のものを区別する手段を考える。
(4)3枚から1枚(2枚でも同じ)選ぶには1回で済む。
「解説」以外の「ポイント」として書いてありました。

私は、(2)が不完全で(3)を見落としていたため、(4)が機能しなかったようです(汗)。ご指摘の点についても理解不足でした。
ご指摘ありがとうございます！！

～補足～
問題集中、【本物より軽い(1枚)2枚の偽物を見つける問題】は全9問。
9問とも3グループに分けるところから解説が始まっています。
問題文は先(質問)に挙げた「外見上は…少なくなるようにするものとする。」だけなので本来はグループ数任意なのかもしれません。問題は以下の通り。
●1枚偽物
全5枚…2・2・1枚→2回
全9枚…3・3・3枚→2回
全10枚…4・4・2枚→3回
全27枚…9・9・9枚→3回
全28枚…9・9・10枚→4回
●2枚偽物
全7枚…2・2・3枚→3回
全8枚…3・3・2枚→4回
全9枚…3・3・3枚→4回
全10枚…3・3・4枚→4回
偽物を含めたコインの枚数・1回目のグループ分け・解答です。
また、重要なところを書き落としてそうですが(汗)。
お手数をおかけし申し訳ないです。

回答No.2

opechorse

7枚の時の模範解答は、2回ですね
1回目:2枚ずつ図る
重さが同じ:残り3枚のうち1枚ずつを計って
どちらかが軽いほう:あたり
同じ重さ:残り一枚が当たり
どちらかが軽い:軽いほうを1枚ずつ計って確認

お礼

ご回答ありがとうございます。
解説の訂正か、問題文の訂正が必要でしょうか(汗)。解説には、
○：正常な金貨、●：偽金貨
●○/●○/○○○＝重さが同じ・・・3回
○○/○○/●●○＝重さが同じ・・・3回
●●/○○/○○○＝向かって右2つが軽い・・・2回
●○/○○/●○○＝向かって右2つが軽い・・・3回
7枚を2・2・3枚に分けた時に考えられる全てのパターンに対応した中での回数を選ぶこと、も条件に含まれるようです。
他の問題集も見てみます。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

ん? 「10枚中 1枚が軽い」というときは, 4/3/3 でわけても 3回でわかりませんか?
abcdefghij のうち, まず abc/def で比較して
・abc = def: この 6枚は全て同じ重さで, ghij のうち 1枚が軽いのであと 2回でわかる.
・abc < def: abc のうち 1枚が軽いのであと 1回比較すればわかる.
少なくとも 3回の比較が必要なのは明らかなので, これで最適のはずです.
どういう事情で「失敗」と判断したんでしょうか.

お礼

ご回答ありがとうございます。
私のケアレスミスです。
・abc = defの場合を考える際、いつの間にか全9枚で計算していました。
●と○よりアルファベットの方が、こんなバカな失敗せずに出来ますね。
参考になりました。ありがとうございます。