高1（２？）：恒等式

質問

等式　p^2-2pq+5q^2-20p-20q+200=0　を満たす実数p,q

の求め方ですが、３パターンほど２乗にでくくってみたのですが、pq≧40というのが分かった程度でうまくいきませんでした。
（ap+bq+c)(dp+eq+f)=0　のように積になるのかと見当をつけてみたのですが、これもうまくいきませんでした（整数でしか考えてませんが）

最初にどう考えたらうまくいくのか指針を下さい。

回答No.6

take_5 · ベストアンサー

＞判別式が-4*（q-5）＾2≦0なら任意のqについて成り立つのでは？

判別式の意味が理解できないようだ。

pもqも実数から、pの2次方程式が実数解を持つ条件として判別式≧0.‥‥(1)でなければならない。
ところが、実際に判別式を取ると、判別式＝-4*（q-5）＾2≦0　‥‥(2)となって判別式自体が負か0になる。
(1)と(2)を比べると、(1)より判別式は正か0にならなければならないから、(1)を満たすためには、(2)においては0の場合しか成立しない。
即ち、q-5＝0.

回答No.7

nettiw

>> p^2-2pq+5q^2-20p-20q+200=0

　　【p^2+(-q)^2+(-10)^2+2p(-q)+2(-10)p+2(-10)(-q)】
　　+【4q^2-40q+100】=0
　　【[p+(-q)+(-10)]^2】+4【(p-5)^2】=0
　　p-q-10=0　かつ　p-5=0、　(p,q)=(15,5)　。

　[p^2]+[-2pq-20p]+[5q^2-20q+200]=0
　[p^2]-2[q+10]p+[5q^2-20q+200]=0 　（⇒⇒）　
　【[p-(q+10)]^2】-[(q+10)^2]+[5q^2-20q+200]=0
　【[p-(q+10)]^2】+[-q^2-20q-100]+[5q^2-20q+200]=0
　【[p-(q+10)]^2】+[4q^2-40q+100]=0
　【[p-(q+10)]^2】+4【(q-5)^2】=0 ・・・　。

　（⇒⇒）　D/4≧0
　(q+10)^2-(5q^2-20q+200)≧0
　(5q^2-20q+200)-(q^2+20q+100)≦0
　　　　　　　　　　　　4q^2-40q+100≦0
　　　　　　　　　　　　　q^2-10q+25≦0
　　　　　　　　　　　　　　　　(q-5)^2≦0　→　q=5
　[p^2]-30p+[225]=0、(p-15)^2=0　→　p=15
------

>> p^2-2pq+5q^2-20p-20q+200=0

　5q^2+p^2+200-2pq-20p-20q=0
25q^2+5p^2+1000-10pq-100p-100q=0
25q^2+(p^2+4p^2)+(100+900)+(20p-120p)-100q=0
(25q^2+p^2+100+20p-10pq-100q)+(4p^2-120+900)=0
(5q-q-10)^2+4(p-15)^2=0・・・　。

　5q^2+(-2pq-20q)+(p^2-20p+200)=0
5q^2-2(p+10)q+(p^2-20p+200)=0　(⇒⇒)
q^2-(2/5)(p+10)q+(1/5)(p^2-20p+200)=0
[q-(1/5)(p+10)]^2-(1/25)(p^2+20p+100)+(1/5)(p^2-20p+200)=0
[5q-(p+10)]^2-(p^2+20p+100)+5(p^2-20p+200)=0
[5q-(p+10)]^2+[4p^2-120p+900]=0
[5q-(p+10)]^2+4[(p-15)^2]=0　　・・・　。

　(⇒⇒)　D/4≧0
(p+10)^2-5(p^2-20p+200)≧0
(5p^2-100p+1000)-(p^2+20p+100)≦0
4p^2-120p+900≦0
4(p-15)^2≦0　→　p=15　　・・・　。
------

回答No.5

koko_u_

>ｐを高べきの順に並べる所まではやったのですが、
>その後、解の公式に行ってしまいドツボにはまりました。
問題を見失っていなければ解の公式でもできる。

回答No.4

Quattro99

(p-q-10)^2にすれば、両方処理できます。

ついでなので#3さんの回答についても。
不等号の向きをよく確認してみて下さい。

回答No.3

take_5

一番素直で、簡単な方法を。

pの2次方程式と見ると、p＾2-2（q+10）p＋（5q^2-20q+200）＝0において、pが実数から判別式≧0.
整理すると、判別式＝-4*（q-5）＾2≦0.　従って、qが実数から　q＝5.
これを条件式に入れて計算すると、p＝15.
（p、q）＝（15、5）の時、確かに条件式を満たす。

補足

ｐを高べきの順に並べる所まではやったのですが、その後、解の公式に行ってしまいドツボにはまりました。なるほど、判別式なのですね。

＞判別式＝.　従って、qが実数から　q＝5.

判別式が-4*（q-5）＾2≦0なら任意のqについて成り立つのでは？

回答No.2

koko_u_

普通に p について解く

回答No.1

Quattro99

(○○)^2 + (△△)^2=0の形に出来るので、○○=0かつ△△=0を解いて求めることが出来ます。

補足

(○○)^2 + (△△)^2=0の形にしようとすると-2pqか-20pの項の
どちらかが残りませんか？