二次関数の問題について

質問

y=(x-1)^2 (a≦x≦a+1)　の最小値・最大値を求めろと云う問題なのですが
最小値の求め方はわかったのですが、最大値の求め方が解りません
回答には
"定義域の両端におけるyの値が一致するのはa^2-2a+1=a^2すなわちa=1/2"
とあるのですが、なぜa^2-2a+1=a^2が出てきたのかが解りません。
お願いします。

回答No.6

774danger · ベストアンサー

> xが１のときでしょうか

いやいや、aがいくつのときでしょうか?

最小値の場合分けが正しくできているのに...........
同じようにa≦x≦a+1の範囲をグラフの左から右に移動させていって、最大値がどこかで変わるのがピンと来ませんか?

お礼

解答みてたらなんとかx=a+1とaの答えが目に入って気付きました
x=a+1のときa^2
x=aのときa^2-2a+1
で、x=1のときaとa+1の値が等しくなるからa^2-2a+a=a^2
でa=1/2ってことでしょうか？

回答No.7

koko_u_

>aがa+1<1すなわちa<0のとき１より左側にくるので
>x=a+1のとき最小値a^2をとり
何が「１より左側にくる」のですか？

>aが定義域のなかにあるとき
>a≦1≦a+1 すなわち 0≦a≦1 なので
>x=1のとき最小値0をとる
「定義域」はこの場合なんでしょう？
a は常に定義域の中にありますよ。

>またaの定義域が軸より右側にあるとき1≦a
>なのでx=aのとき最小値a^2-2a+1をとる
ここはこのままでおかしくはありませんよ。

>遅くなってすみません、これでいいでしょうか？

いろいろ整理できたら、最大値の求め方に挑戦だ。

回答No.5

koko_u_

>[1]a+1<1 すなわち a<0のとき
>　x=a+1で最小値 a^2をとる
>[2]a≦1≦a+1すなわち 0≦a≦1のとき
>　x=1のとき最小値0をとる
>[3]1<aのとき
>　x=aで最小値a^2-2a+1をとる

「答え」ではなく「求め方」を補足して下さい。
でないと「なぜ」なのかわかるようになりません。

お礼

>またaの定義域が軸より右側にあるとき1≦a
>なのでx=aのとき最小値a^2-2a+1をとる
ではなく
またaが軸より右側にあるとき1≦a
なのでx=aのとき最小値a^2-2a+1をとる
でした。

補足

aが定義域の左側・中・右側にあるときに分けて考える
この放物線は軸がx=1で下に凸なので

aがa+1<1すなわちa<0のとき１より左側にくるので
x=a+1のとき最小値a^2をとり

aが定義域のなかにあるとき
a≦1≦a+1 すなわち 0≦a≦1 なので
x=1のとき最小値0をとる

またaの定義域が軸より右側にあるとき1≦a
なのでx=aのとき最小値a^2-2a+1をとる

遅くなってすみません、これでいいでしょうか？

回答No.4

774danger

そこまでできるなら、同じように最大値が左(x=a)に来るか右(x=a+1)に来るか場合分けをしていけばいいのです。

でも、最大値が2点になる場合がありますよね?
どういうときでしょうか?

補足

xが１のときでしょうか

回答No.3

richiro

この二次関数は頂点(x,y)=(1,0)を通る下向きのグラフとなります。ですので大雑把に定義域がx=1より左側にあれば最大値はx=aのポイントなり、また定義域がx=1より右側にああれば最大値のポイントはx=a+1。この最大値と最小値の入れ替わりのポイントはaとa+1の中間がx=1となる、つまり{a+(a+1)}/2=1でa=1/2となる定義域{0.5；1.5}で、このとき定義域両端のy値は等しくなり、ここを境に最大値と最小値のポイントが入れ替わります。質問文はこのy値が等しくなるa値を求めるためにf(a)=f(a+1)として代入した式を表しているものと考えます。

回答No.2

774danger

本当に最小値の出し方がわかっていれば、最大値もわかるはずなのですが..........
むしろ場合分けは最大値のほうが楽です。

a≦x≦a+1の区間で、どこが最大値になるかを場合分けしていけばいいだけです。

> なぜa^2-2a+1=a^2が出てきたのかが解りません。

場合分けするときの境界だからです。

回答No.1

koko_u_

>最小値の求め方はわかったのですが、最大値の求め方が解りません
じゃあ、最小値の求め方を補足にどうぞ。

補足

[1]a+1<1 すなわち a<0のとき
　x=a+1で最小値 a^2をとる
[2]a≦1≦a+1すなわち 0≦a≦1のとき
　x=1のとき最小値0をとる
[3]1<aのとき
　x=aで最小値a^2-2a+1をとる