確率問題が得意である方、解答・解説をお願いします！

質問

以下の６問の確率に関する問題を解ける方がおりましたら解答を
お願いいたします。じっくり理解したいので、解説も書いて頂け
るとありがたいです。
確率問題が得意である方、宜しくお願いいたします。

問１　さいころを３回投げたとき、出た目をX,Y,Zとする。

　(1)X=Y=Zとなる確率を求めよ。
　(2)X<Y<Zとなる確率を求めよ。

問２　事象A、BがP(A)=2P(B)かつP(AｎB)=2/13*P(AｕB)
　　　を満たすとき、条件付確率P(A|B)を求めよ。

※ｎ：キャップ、ｕ：アンダーキャップと思って下さい※

問３　１から５までの数字を書いた５枚のカードがある。これらから
　　　無作為に１枚を取り出し、その数字をXとする。次に、残りの
　　　４枚から無作為に１枚取り出しその数字をYとする。

　(1)E(X)およびE(Y)を求めよ。
　(2)V(X)、V(Y)およびCov(X,Y)を求めよ。

問４　100本に１本の割合で当たりがあるくじを300回引いた。このと
　　　き、当たりくじを４本以上引く確率を求めよ。ここで、ポアソ
　　　ン近似を用い、ｅのマイナス３乗＝0.05とせよ。また、くじの
　　　総本数は十分多いものとする。

問５　確率変数XとYは独立でともに標準正規分布をもつ。すなわち、
　　　同じ密度関数
　　　　　　　　fx(t)=fy(t)=(ｅの-tの二乗/2)/ルート2π
　　　をもつ。このとき、確率変数U=X+2YとV=3X-Yの組(U,V)の同時
　　　密度関数fu,v(u,v)を求めよ。

問６　ランダム・ウォーク0=S0、S1、S2、・・・において、
　　　P(max0<n<8 Sn>2、S9=-1)を求めよ。

以上

回答No.6

kony0

問３
Xについては解説しません。
Yについては、
1)Xについて場合分けする方法
2)Yの考え方として、５枚を１列に並べる順列を考え、「左から２番目をYとみる」方法
があります。この2)は、「くじ引きでは、早く引くか後で引くかで有利不利はない」ことを示す原理そのもので、重要な考え方と思われます。
結局、XとYとで、条件は全く同じですね。E(X)=E(Y)=3, V(X)=V(Y)=2

Cov(X,Y)についてなんですが、直感的に「負」であることは見抜いていただきたいと思います。１枚目に大きい数字をとってしまうと、残りは小さい数字しか残りませんからね。どちらかといえば逆相関ですよね。
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)ですから、あとはE(XY)を求めるところですが、実際には、(X,Y)の組を数え上げて考えてみてください。全部で5P2=20通りしかないですから、あれこれ考えるより手計算するほうがはやいでしょうか。（しかもX,Yは対称ですから、実質10通り考えれば十分でしょうか）
答えはCov(X,Y)=-0.5になるのではないかと思います。

問６
４回の＋、５回の－が出ることになりますが、このうちMAX(Sn)>2となるためには、比較的早い段階で＋が並んでいる必要があります。結構パターンが限られていそうです。（私は書き出してみたところ９通りしかなさそうでした）

回答No.5

x_takey

＃３でございます。
＞fushigichanさん
言われてみれば、そうですね。
Ｐ(Ａ)やＰ(Ｂ)でなくて、Ｐ(Ａ∪Ｂ)を文字で置き換えたほうがいいですね。私が間違えていました。「失敗例」として参考にしてください(笑)。

回答No.4

fushigichan

こんにちは。問題２なんですが
＞問２　事象A、BがP(A)=2P(B)かつP(AｎB)=2/13*P(AｕB)
　　　を満たすとき、条件付確率P(A|B)を求めよ。

※ｎ：キャップ、ｕ：アンダーキャップと思って下さい※

いまP(AｕB)=pとおきます。このとき、
P(AｎB)=2/13*P(AｕB) より、P(AｎB)=2/13*p

ここで
P(A)+P(B)=P(AｎB)+P(AｕB)
=2/13*p + p
=15/13*p
ここで、P(A)=2P(B)であるから、P(A)=10/13*p、P(B)=5/13*pがいえます。

さて、条件付確率P(A|B)=P(AｎB)/P(B)ですから、
P(A|B)=P(AｎB)/P(B)=2/13*p÷(5/13*p)
=2/5
これで条件付確率が求まりました。

お礼

毎回のご回答、ありがとうございます。

解を見せて頂くと「なるほど」と思います。

自分でここまで解けるようになるためのコツとは、今回の場合
P(AｕB)=p　と一時的に置換することでしょうね。

生の解はたいへん勉強になります。ありがとうございます！

回答No.3

x_takey

問２をやってみたのですが…
条件付き確立の定義より、
Ｐ(Ａ|Ｂ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)／Ｐ(Ｂ)
となるのは貴方もわかっていると思いますが、それに条件を代入すると、
Ｐ(Ａ|Ｂ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)／Ｐ(Ｂ)
　　＝(2/13＊Ｐ(Ａ∪Ｂ))／(1/2＊Ｐ(Ａ))
　　＝4/13＊(Ｐ(Ａ∪Ｂ)／Ｐ(Ａ))
となります。ここからはＰ(Ａ∪Ｂ)を展開してみるのですが、
Ｐ(Ａ∪Ｂ)＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－Ｐ(Ａ∩Ｂ)
　　＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－2/13＊Ｐ(Ａ∪Ｂ)
　　＝Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－2/13＊(Ｐ(Ａ)＋Ｐ(Ｂ)－Ｐ(Ａ∩Ｂ))
　　＝…………
となってしまうので、いつまでたっても答えに辿り着けなくなります。
よって、答えは
Ｐ(Ａ|Ｂ)＝4/13＊(Ｐ(Ａ∪Ｂ)／Ｐ(Ａ))
になってしまいます。これ以上の答えを出すのならば、Ｐ(Ａ∩Ｂ)かＰ(Ａ∪Ｂ)をＰ(Ａ)かＰ(Ｂ)で表されてないと、出てきませんよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。

この手の問題は公式をうまく使いまわして解くものですよね。
私は苦手です。

何かコツや、覚えた方が良いパターンなんかありますか？

回答No.2

wataken44

問い1（２）に関する補足
X<Y<Zとなるのときについて考えてみましょう
#1の方が書いているようになるんですがちょっと視点を変えます

１，２，３，４，５，６の中から３つのものを選び（たとえば２，１，６）
小さいほうから順にX、Y、Zであるとします（この例ではX=1,Y=2,Z=6）
こう考えるとX<Y<Zであるとおり数は6つのものから3つのものを重複を許さずに選ぶとおり数と同じになります

したがって6Ｃ3=20通りあることになります

お礼

ご回答ありがとうございます。

このようなやり方もありますよね・・・！
非常に勉強になります。ありがとうございます！

回答No.1

fushigichan

こんにちは。
ちょっと問題が多いので、問題１から
＞問１　さいころを３回投げたとき、出た目をX,Y,Zとする。

　(1)X=Y=Zとなる確率を求めよ。

まず、ｘ＝ｙ＝ｚとなるのは
（ｘ、ｙ、ｚ）＝（１，１，１）（２，２，２）（３，３，３）
　　　　　　　　（４，４，４）（５，５，５）（６，６，６）
の６とおりです。
全体は６×６×６＝２１６とおりです。
したがって、この確率は６÷２１６＝1/36

　(2)X<Y<Zとなる確率を求めよ

(x,y,z)の組あわせを考えて行きましょう。
ｘ　　　　　ｙ　　　　　　ｚ
１のとき　　２とすると　　３，４，５，６の４とおり。
１　　　　　３　　　　　　４，５，６の３とおり。
１　　　　　４　　　　　　５，６の２とおり。
１　　　　　５　　　　　　６だけ。１とおり。
２のとき　　３とすると　　４，５，６、の３とおり。

・・・・・・・・
以下、自分で書き出してみましょう。

４　　　　　５　　　　　　６　　　の１とおり。←ここまでですね！

全部で２０とおりだるのがわかるでしょう。
全体は２１６とおりでしたから、２０÷２１６＝5/54となりますね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

(2)ですが、やはりこのやり方は基本ですよね！
確率問題(だけではないですが)はいろいろな解き方があって面白いです。
その中でも、私はこの解き方が一番理解しやすいです。