需要の価格弾力性について

質問

武隈先生の演習ミクロ経済学p31には「価格弾力性は１であるから価格が変化してもx財を購入に支出される金額は変わらない」とあります。

なるほど、例えば価格が５０％上がった時に５０％財の購入量が減れば支出する金額は変わらない気がします。

しかし、実際に計算してみると違う気がするんですよ。
財の価格が１００円、財の購入量が１００だとして財の価格が５０％上がる、つまり１５０円になったとすれば価格弾力性を１に保つためには財の購入量も５０％下がるすなわち５０にならなければならないと思います。武隈先生によれば価格弾力性が１ならばその財に対する支出金額は変わらないそうですが、この例では元々一万円支出していたのに価格があがったあとは７５００円しか支出していません。

とんちんかんな事を聞いているのだと思いますがお暇な時に回答を下さればありがたいです。

回答No.3

at9_am

計算間違いですよ。

> 財の価格が１００円、財の購入量が１００だとして財の価格が５０％上がる、つまり１５０円になったとすれば

この部分が間違い。
50/150 = 1/3 ≒ 33％
と計算されます。なので弾力性を1に保つためには、約 33 だけ数量が減らなければなりません。すなわち、約 67 です（#1の回答でも弾力性を保つ数量は 67 になっていますね）。

その場合、
150 × 66.6... = 10000
となり、支出額は変わりません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
No.1さんの回答とどのように整合性をとればいいのかはっきりわからないのですが。ようするに弾力性は変化するので価格が上昇した位置で弾力性の計算をしなければならないということでしょうか。

回答No.2

noname#78613

数学的な補足を少しだけしておきますね。

価格がaからbに変化したときの支出額の変化は、積分を使うと

[pD(p)]^b_a = ∫^b_a[pD(p)]'dp
= ∫^b_a[D(p)+pD'(p)]dp
= ∫^b_a[D(p)-ε(p)D(p)]dp
= ∫^b_aD(p)[1-ε(p)]dp

となります。弾力性が常に１（ε(p)=1）だと支出額の差はゼロになりますよね。
逆にそうじゃないばあい、一般的には支出額は変化します。

回答No.1

noname#78613

とても良い疑問だと思います。需要の価格弾力性の定義をきちんと
理解すると問題は解決します。

弾力性をε、価格をp、需要関数をD(p)とすると、εは

ε = - [dD(p)/D(p)]/(dp/p)

で定義されます。ここでDやpの前についている「d」は数学的には
「微小な」変化を表します（微分）。簡単に言うと、限りなくゼロに
近い変化、のことです。これとは対照的に用いられる階差Δと区別する
必要があります。

この定義からわかるように、弾力性は常に一定であるとは限りません。
需要曲線上の位置によってその値が変わることになります。つまり、
弾力性は一般的には価格の関数であるということになります（別の
言い方をすれば、弾力性は需要曲線上の点の位置によって決まる、
となります）。

したがって質問文にあるように、価格の変化が「５０」といった大きい
場合、通常では「支出額が一定となる」という議論は成立しません。
なぜなら、価格が１００から５０に移動するまでに、需要の価格弾力性
は一定ではなく変化し続けているからです。質問者様が想定していると
思われる線形の需要関数D(p)= 200 - pだと、縦軸を価格、横軸を需要
としたとき、左上に行けば行くほど弾力性は大きくなります。

議論の応用として、弾力性が「常に」1のときであれば、「支出額が
一定となる」という議論が成立します。そのような関数はD(p)=10^4*p^-1
です。p*D(p)=10^4となることから支出額が一定になるのは明らかです
よね。価格が100のとき、需要は100となります。他方価格が150のとき、
需要は約67となります。

お礼

なるほど確かに弾力性は変化しますね。すっかりその事を失念していました。