タンク内で昇温した場合の達温時間は？

質問

ある食品Aをお湯で温め、どれくらいの時間まで目標の温度に達するか知りたいです。詳細は以下のとおりです。
１～７の条件下でお湯をタンクに入れて、タンク内の食品A(温度50℃、質量40kg)を温めます。そのとき、Aが85℃に達するまでの時間の算出方法を教えてください。
１．タンク容量は50L
２．タンク内は満水にする。
３．お湯はタンクの底から入れ、上から出す。
４．お湯の供給温度は85℃、流量は10L/min
５．タンクは重量490kg、比熱0.11とする。
６．Aの比熱、その他必要な条件は仮定してください。
７．お湯の放熱する熱量は食品Aとタンクに伝わるものとします。
なんとか5月7日までに教えてほしいです。
みなさま宜しくお願いします。

回答No.2

noname#59437 · ベストアンサー

熱源としてのタンクの温度変化は考えなくて良いでしょう。
食品に伝わった熱量を食品の熱容量で割ると伝わった熱量による
温度上昇分が求められます。
今、食品が所定の温度に達するまでの時間を求めようとしており、
そのためには熱の伝わる速さが分からねばならず、速さを求める
ためには、食品の表面積、食品とタンク内熱水の境界における
境膜を通しての伝熱係数、タンク内熱水と食品との温度差を知る
必要があります。

荒っぽい計算ですが、食品の温度が一様に温度上昇するものと
仮定して、先ず、式を求めます。
その後、一例として、数値を適当に代入して食品の温度変化の
様子を調べることにします。

境界面を通して伝わる熱流束は、 q(t)=(h・A)・{T_w-T_f(t)}
　h：総括熱伝達係数(Kcal/m^2/hr/℃)
　A：伝熱面積(m^2)
　T_w：タンク内の熱水温度(℃)
　T_f(t)：食品の温度(℃)

t～t+dt の時間の間に、食品の温度が、T_f(t)～T_f(t)+dT_f(t) に
上昇するとすると、 食品の質量を m(gr)、比熱を c(Kcal/gr/℃)として、
dT_f(t)={q(t)・dt}/(mc)

上の式を代入して、
dT_f(t)=[(h・A)・{T_w-T_f(t)}・dt]/c
{dT_f(t)/dt}+{(h・A)/(mc)}・T_f(t)={(h・A)/(mc)}・T_w

これを解くと
T_f(t)=T_f(0)・e^[-h・A/(mc)}・t]+T_w・（1-e^[-h・A/{(mc)・t}]）
t→∞ のとき、T_f(t)→T_w

式から分かることは、食品の温度は、時間の経過と共に限りなく
タンク内熱水の温度に近づくが（式の上では）、決してその温度に
達することはないということです。（実際には、その差が極めて小さく
なれば、同一と見なせますが）

数値を代入してみます。
食品の表面積は、食品が球体であるとして、密度を 1(gr/cm^3)
とした時の半径から求めることにします。
A=4π・{(40000/1)/(4π/3)}^(2/3)=5656(cm^2)=0.5656(m^2)

h、c は
h=20(Kcal/m^2/hr/℃)
c=1/1000(Kcal/gr/℃)　と仮定します。

タンク内熱水の温度、T_w=85(℃)
食品の初期温度、T_f(0)=50(℃)
食品の質量、m=40000(gr)

時間（hour） 食品の温度（℃）
0 50
5 76.48909688
10 82.93041509
15 84.49674181
20 84.87762338
25 84.97024184
30 84.99276375
35 84.99824037
40 84.99957211
45 84.99989595
50 84.9999747

お断りしておきますが、食品の温度が一様に上昇するという仮定を
しておりますのと、ここで用いる数値は、全く根拠を持たないもので
あり、従って、結果の妥当性については責任を負いかねますので
その積りでご覧下さい。
実験などで数値が確かめられれば、その数値を代入して、大体の
様子が分かるでしょう。

お礼

ありがとうございました。
わかりやすい説明で、素人の私にもよくわかりました。

回答No.1

opechorse

昔この手の計算をしたことがありますが
現状のデータだとヒーティングコイルの性能
タンクからの放熱が分からないから無理です

仮にタンクからの放熱が分かったとしても
ある程度の精度を出す計算をするなら
10万単位の費用が掛かります
(図面しだいです)

あと、熱水温度85度で85度まで加熱できません
物体の加熱は温度差で移動する熱量が決まりますので
熱水と同じ温度にしようとするとおおむね無限大時間掛かります
(よほど保温性能がよければ可能ですが)