周波数について

質問

今、電気の問題集で問題集で勉強しているのですが、次の問題をいくら考えてもわかりません。どなたか考え方を教えていただけないでしょうか？よろしくお願いします。　『ある一次遅れ要素のゲインが 20log(1/√(1＋(wT)^2)=-10log(1＋w^2T^2)〔dB〕で与えられるとき、その特性をボード線図で表す場合を考える。　　角周波数 w〔rad/s〕が時定数T〔s〕の逆数と等しいとき、これを[ ア ]角周波数という。　　　ゲイン特性は w<<1/T の範囲では 0〔dB〕, w>>1/T　の範囲では角周波数が10倍になるごとに[ イ ]〔dB〕減少する直線となる。また w=1/T におけるゲインは約-3〔dB〕であり、その点における位相は[ ウ ]〔°〕の遅れである。』　　　　それぞれア～ウに当てはまる語句又は数値を問う問題ですがそれぞれの答えが、ア)折れ点　イ)20　ウ)45　　となります。お手数ですがよろしくお願いいたします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

質問者さんの書かれた問題の解説と答でよく理解できるはずです。
何が、どういう風に分からないのか、問題の解説でなく、質問者さんが分からない箇所を、計算式を書いて、具体的に質問をして下さい。

一次遅れ系はG(jw)=1/(1+jwT)です。
wT=1の時、G(jw)=1/(1+j)=(1/√2)e^(-jπ/4)→「-45°」（45°遅れ）
となりますね。

お礼

すみません。お礼を各場所を間違えてしまいました。
回答どうもありがとうございました。
もう少し、補足で書いた所を教えて頂けたらと思います。
よろしくお願いします。

補足

回答ありがとうございました。メールアドレスが変わっていた為、
回答して頂いたことに気が付きませんでした。本当に失礼いたしました。返事が遅れましたが、またお教え下さい。

まったく素人が電気数学を勉強しているので、変な質問をして
しまうとは思うのですがよろしくお願いします。

「一次遅れ系はG(jw)=1/(1+jwT)です」と教えて頂き
wT=1の時、G(jw)=1/(1+j)までは理解できるのですが
それが、(1/√2)e^(-jπ/4)となり-45°と計算する方法が
わからないのですが教えていただけないでしょうか？
本の解説ではθ=-Tan^-1(1)=45°とも書いてありましたが
この説明でも何で-Tan^-1が出てくるのか理解できませんでした。
ホント素人で申し訳ないのですが回答よろしくお願いします。

〔イ〕の答え20dBなのですが、これは 一次遅れ要素の
ゲインが20log(1/√(1＋(wT)^2)なので、この頭についている
20だと考えたらいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

info22

#1,#2です。
A#2の補足質問の回答

> wT>>1のとき、なぜ
> 20log(1/√(wT)^2)となるのでしょうか？
> wT>>1の為、分母の「1＋(wT)^2」の「1」は考えないで
>「(wT)^2」になるという事でしょうか？
そういうことです。
1＋(wT)^2＝(wT)^2{1+(1/wT)^2}
{　}内で　wT>>1であるから、1>>(1/wT)より　1>>(1/wT)^2
で第二項が非常に小さくなるので省略して
(wT)^2{1+(1/wT)^2}≒(wT)^2{1+0}=(wT)^2
ということです。

お礼

わかり易く何度も説明していただき、大変感謝しております。
おかげさまで、よく理解できました。
どうもありがとうございました。

回答No.2

info22

#1です。

補足の前半の質問）
> G(jw)=1/(1+j)までは理解できるのですが
> それが、(1/√2)e^(-jπ/4)となり-45°と計算する方法が
> わからない
分からない方が不思議です。少し、複素平面のベクトルと直交座標との関係の数学を復習された方が良いかと思います。

1+jを複素平面の点で描くと
絶対値（原点からの距離）rは分かりませんか?
r=√{(実部)^2+(虚部)^2}=√{(1^2)+(1^2)}=√2
原点と点に向かうベクトルの偏角は
実部=1,虚部=1ですから45°（π/4）
ですね。
これを絶対値と偏角であらわすと
1+j=(√2)e^(jπ/4)
と書きますが、お分かりになりませんか。

1/(1+j)になると逆数になりますから
=1/{(√2)e^(jπ/4)}となりますので
絶対値は逆数、位相が符号が逆になって
(1/√2)e^(-jπ/4)
となりますね。

単純かつ簡単な事ですよ。
まだ、分からないですか？

後半の質問）
>〔イ〕の答え20dBなのですが、これは 一次遅れ要素の
ゲインが20log(1/√(1＋(wT)^2)なので、この頭についている
20だと考えたらいいのでしょうか？

> w>>1/T　の範囲では
wT>>1ですから
20log(1/√(1＋(wT)^2)≒20log(1/√(wT)^2)＝20log(1/(wT))
＝-20log(wT)
wが10倍になるごとに20dBの割合でゲインが減少します。つまり
-20[dB/decade]の割合でゲインが増加する、
> [ イ ]〔dB〕減少する直線
質問では減少割合を問うていますので減少割合は
20[dB/decade]
となります。decade=10倍のことです。

お礼

回答どうもありがとうございます。
大変丁寧な回答で、理解する事ができました。

最後にもう一つだけ教えていただけないでしょうか？
後半の説明で、
> wT>>1ですから
20log(1/√(1＋(wT)^2)≒20log(1/√(wT)^2)
とありますが、wT>>1のとき、なぜ
20log(1/√(wT)^2)となるのでしょうか？
wT>>1の為、分母の「1＋(wT)^2」の「1」は考えないで
「(wT)^2」になるという事でしょうか？

本当に素人で申し訳ありませんが宜しくお願いします。