• 締切済み
  • すぐに回答を!

レイリー・ジーンズの式からプランクの式を出すには?

レイリー・ジーンズの式は、振動数が小さいときにしか成り立たないと習いました。 プランクの式において振動数が小さいときに、レイリー・ジーンズの式が成り立つことを、レイリー・ジーンズの式をマクローリン展開をすることで近似したいのですが、その方法がわかりません。 プランクの式:(8πhν3/c3){exp(hν/kT)-1}‐1←マイナス一乗です レイリー・ジーンズの式;(8πkT/c3)ν2

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数4
  • 閲覧数1970
  • ありがとう数3

みんなの回答

  • 回答No.4
  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)

siegmund様 補足ありがとうございます。 質問者様 ミスタイプをきちんとチェックしていませんでした。 すみません。 exp(x)=1+(1/1)x+(1/1・2)x^2+(1/1・2・3)x^3+・・・ これはd(exp(x))/dx=exp(x)から出てきます。 hν/kT<<1のときというのは振動のエネルギー順位の幅が熱エネルギーに比べて十分に小さいということです。従って実際に振動体の持つエネルギーはhνよりも高いです。n=kT/hνとするとn番目の準位ぐらいまでは励起されているだろうと言うことが出来ます。十分に高い順位まで励起されているということですのでエネルギー順位が不連続であるという特徴は消えてしまうことになります。量子論を必要としません。量子論に高温近似を当てはめると古典論になリます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

丁寧なご回答、ありがとうございます。 >十分に高い順位まで励起されているということですのでエネルギー順位が不連続であるという特徴は消えてしまうことになります。量子論を必要としません。量子論に高温近似を当てはめると古典論になリます。 これは知りませんでした!実はつい最近、授業で量子論を習い始め、いかに高校のときに本当に表面の薄い部分しか習っていなかったのだと実感しています。しかし、上のことがいまいち理解できません・・・。確か振動数が低いほど、熱エネルギーが高くなるのですよね?(赤外線は振動数が低くて熱を伝えやすいことから)。振動体のエネルギーと熱エネルギーをどう関係付ければよいのか、わかりません。次から次へと質問してしまい、ほんとうに申し訳ないです。

  • 回答No.3

二番煎じで恐縮ですが, htms42 さんの書かれている意味は次のようなことです. マクローリン展開で exp(x) = 1 + x + ・・・ ですから,x が十分小さいとき exp(x)-1 は x で近似できます (sxp は補足にあるように htms42 さんの手が滑ったのでしょう). 今は,質問文中の (8πhν^3/c^3){exp(hν/kT)-1}^(‐1) の分母で,x = hν/kT になっているわけです. つまり,exp(hν/kT)-1 を hν/kT で近似してよろしい. あとは整理するだけです. x が十分小さいというのは,x = hν/kT に即して言えば, 高温あるいは低振動数(低エネルギー)ということとになります.

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

わかりやすいご説明ありがとうございます! おかげで近似方法はよくわかりました。 なぜ、第二項まで、といえるのか?とも思いますが、それが近似するのに都合が良いからなんですね。なんだかこうもきれいに近似できるのが不思議です^^

  • 回答No.2
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)

>レイリー・ジーンズの式からプランクの式を出すには? 出せません。それは不可能なことです。逆にプランクの式からレイリー・ジーンズのを出すことは可能です。そのことは計算するまでもないことでしょう。実際わたしは計算していません。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)

>プランクの式において振動数が小さいときに、レイリー・ジーンズの式が成り立つことを、レイリー・ジーンズの式をマクローリン展開をすることで近似したいのですが、 逆だと思います。 プランクの式が全範囲で成り立ってレイリー・ジーンズの式が振動数の小さい所で成り立つというのであればプランクの式を振動数が小さいとして展開すればレイリー・ジーンズの式が出てくるという事になります。 sxp(x)-1~x で出てきます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

書き間違えました。ご指摘のとおり、プランクの式からレイリー・ジーンズの式を出す方法を知りたかったのです。 しばらく数学をやっていなかったため、マクローリン展開をさっぱり忘れており、調べてやってみようとしましたが、納得がいかずここで質問をしました。 sxp(x)-1~x sではなくeですよね・・・・? また、私の知識不足でどのように上の式を利用すればよいのかわかりません。すみません。良かったら、詳しく教えていただけませんか?

関連するQ&A

  • 量子?

    【問題】プランクの式  ρ(ν)=(8πν^2/c^3)*[cν/exp(cν/KBT)-1]ではなく レイリージーンズの式 p(ν)=(8πν^2/c^3)*KBT を用いた場合 ステファンボルツマンの式はどんな形になるか導出せよ。 (考えたこと) プランクの放射公式からの導出 黒体放射のプランクの放射公式(1)は、振動数νの関数として、 ρ(ν)=(8πν^2/c^3)*[cν/exp(cν/KBT)-1] c:光速度 h:プランク定数 k:ボルツマン定数 空洞内のエネルギー密度は、全振動数について積分することにより求められるから (途中省略) エネルギー密度と放射強度の関係式I=(c/4)*ρに代入し、 π,k,c,h-は、全て定数であるのでI=σT^4を得る。 プランクの放射公式からの導出はわかるのですが、 レイリージーンズの式 p(ν)=(8πν^2/c^3)*KBT を用いての(置き換えて)積分計算によりステファンボルツマンの式はどんな形になるかが 分かりません。お願いします。

  • 積分?量子力学

    プランクの式ρ(ν,T)=(8πν^2/c^3)*[cν/exp(cν/K[B]T)-1]として ∫[0,∞]ρ(ν,T)dν=p      I=(c/4)*pを代入したら      ステファンボルツマンの式I=σT^4を得れました。 では レイリージーンズの式ρ(ν,T)=(8πν^2/c^3)*K[B]Tのとき 同様に∫[0,∞]ρ(ν,T)dν=p としていくとどのようになるか分かりません。この積分がわからないです。 お願いします。

  • Wienの公式・変位則について

    はじめまして。初の質問です。 学校でプランクの公式 U(γ)=8πh/c^3*γ^3/exp(hγ/kT)-1 について 1)Rayleigh-Jeansの公式を確かめよ。 2)Wienの公式を確かめよ。 3)Wienの変位則~プランクの公式でU(γ)が最大となる振動数をγmとすると、γm=bT(bは定数)となることを確かめよ。 という課題が出ました。 1)は解けましたが2)、3)が解けません。 2)は断熱不変量を統計力学で扱うことによって解けるようですが、自分の力では解けませんでした。 3)にいたっては解法もわかりません。 突然ですみませんがどなたかご教授お願いします。

  • ウィーンの変位則

    プランクの公式 E(λ)=a/λ^5/(exp(b/λT)-1) a=2πc^2h b=ch/k ・・からウィーンの変位則を導きたいのですが b/λT=x'とおいた時 exp(-x')+x'/5-1=0 となるところはわかっています。 この式からx'を求められれば後は何とかなる 用ですが、この計算は少し工夫が必要だそうです。 ちなみにウィーンの変位則は λT=2.8978*10^(-3)   となるようです。 僕はもう、数学なんかずいぶん解いてないので マクローリン展開とか言われても 聞いたことあるなぁ・・・なんだっけ? ・・・という感じになってしまっています。 物理に詳しい方、数学の得意な方 なるべく簡単に教えてください。 よろしくお願いします。

  • レイリー・ジーンズの式

    化学系、大学2回生です。 勉強していて気になったことがあるのでお願いします。 分子による光の放射・吸収の量子論的な取扱いで、 古典論として、レイリー・ジーンズの法則を学びました。 その式の証明の作業なのですが・・・ 振動子の平均エネルギーをkTとして、波長がλとλ+dλの間にある光エネルギー(dU)はその範囲にある振動子の数をdN(λ)とすると、     dU=kT・dN(λ) と表せます。 ここまではいいのですが、この後です↓↓ dU=(8πkT/λ^4)dλ となるらしいのです。。 dN(λ)=(8π/λ^4)dλ ということなのでしょうか?? もし、そうだとすれば、なぜそうなるのでしょう…? おそらく球の表面積?かなにかが関係しているのかと思うのですが。 おねがいします!!

  • ドブロイ波の式について質問します。

    ドブロイ波の式について質問します。  ドブロイ波というのは質量を持つ粒子の波動性を考えているものです。ドブロイ波の振動数はν=E/hです。なぜ光における式E=hνを使って振動数を導いていいのですか?E=hνという式は光についてだけのものではないのですか?  またドブロイ波の運動量P=E/c=hν/c=h/λは特殊相対論のE^2=m^2c^4+p^2c^2という式において質量m=0として求めたものだから、質量がゼロの光についてしか成り立たないのではないかと思います。質量のある粒子にこれらの式を適用していい理由をどなたか知っている方がいたら教えて下さい!

  • 軸のねじり振動数の算出

    お世話になります。 中実軸 S45C φ50mm L500mmのねじり振動数の算出方法を御教授願います。 宜しくお願いいたします。 ネット等で色々調べた所、「1/2L*(G/ρ^(1/2))」という式と 「1/2π*((G*Ip)/(J*L)^(1/2))」という式が出てくるのですが、どちらが正しい?のでしょうか? ※工業高校を卒業後就職し、設計実務経験は2年程になります。 実際に同寸法の試料でハンマリング試験(加速度計、FFTを使用し、他モードに注意しながら、ねじり方向へ加振しました)を行った所、「1/2π*((G*Ip)/(J*L)^(1/2))」の式で出た振動数と、試料の一次振動数が近似値になりました(±15Hz位)。 「1/2L*(G/ρ^(1/2))」式は何を表しているのでしょうか?

  • プランクの放射式

    プランクの放射式(8πhν^3/c^3){exp(hν/kT)-1}^1 をνではなくλを用いて表す、という課題がでましたが、いまいちやり方がわかりません。積分や他の公式を使うのでしょうか? わかる方教えてください。

  • n次近似式とテイラー展開について

    学校で近似式の勉強をしていて、テイラー展開という所まで進みました。 そこでn次近似式との関係について良くわからない事がありましたので質問します。 文章がわかりにくいと思いますがお願いします。 n次近似式は、n番目までの近似でn番目の後にランダウの記号がついています。 テイラー展開はn番目の近似の後にさらに・・・と続いています。 この二つにはどのような違いがあるのでしょうか? あとマクローリン展開はa=0の時のテイラー展開という事はわかりました。 そこで、 f(x)=exp(x)のx=0におけるn次近似式を求めよ。と書いてあった時は、n次近似式とテイラー展開が同じ事を言っているとしたら、マクローリン展開で解いても良いのでしょうか?

  • 電磁派の散乱振幅の関数について

    電磁派の散乱振幅は E=E'exp(i(wt-2πx/λ)) t:時間、λ:波長、w=2πν(ν:振動数)、x:位置 で表せるとよく見るのですが、なぜこのような式になるのか、またなぜ指数関数がでてくるのかを教えてください。