レイリー・ジーンズの式

質問

化学系、大学２回生です。
勉強していて気になったことがあるのでお願いします。

分子による光の放射・吸収の量子論的な取扱いで、
古典論として、レイリー・ジーンズの法則を学びました。

その式の証明の作業なのですが・・・

振動子の平均エネルギーをkTとして、波長がλとλ+dλの間にある光エネルギー(dU)はその範囲にある振動子の数をdN(λ)とすると、
　　　　dU=kT・dN(λ)
と表せます。

ここまではいいのですが、この後です↓↓

dU=(8πkT/λ^4)dλ となるらしいのです。。

dN(λ)=(8π/λ^4)dλ　ということなのでしょうか？？

もし、そうだとすれば、なぜそうなるのでしょう…？

おそらく球の表面積?かなにかが関係しているのかと思うのですが。

おねがいします！！

回答No.2

101325 · ベストアンサー

> dU=kT・dN(λ) の式から続けて導く方法が知りたい

これは、波長がλとλ+dλの間にある（単位体積当たりの）振動子の数 dN(λ) が

　dN(λ)＝(8π/λ^4)dλ

で与えられることを示せばいいわけですよね。

ANo.1の参考URLの式（2.4）から、振動数がνからν+dνの間にある単位体積当たりの振動子の数 dN(ν) を求めると

　dN(ν)＝ 2*{式(2.4)/L^3}　　　…… 偏光の自由度があるので2倍している
　＝2 * (1/8) * (4π/3) * (2ν/c)^3 * {(1+dν/ν)^3 - 1}
　＝2 * (4π/3) * (ν/c)^3 * {(1+3dν/ν) - 1}　　　…… dνの２次以上の項を落とした
　＝(8πν^2/ c^3) dν

となります。ただし参考URLでのΔνをdνにしました。式（2.4）を導く際、暗にΔν＝dν＞0 が仮定されていますが、dν＜0の場合は式（2.4）の符号が変わりますので、dν＞0 の仮定を外せば、結局

　dN(ν)＝(8πν^2/ c^3) |dν|

になります。この式の右辺にANo.1のν＝c/λ, dν＝-(c/λ^2)・dλを代入すれば

　dN(λ)＝(8π/λ^4) |dλ|

得られます。絶対値が付いているところがもともとの式とは違いますけど、もともとの式では dλ＜0 のとき dN(λ)＜0 になって不合理ですから、もともとの式では dλ＞0 が暗に仮定されているのでしょう。

> これは原理的に無理なのでしょうか？

dN(ν) を経由しないで導出することが可能か？という意味でしたら、「おそらくは可能」だと私は思います。が私自身は確認していないです。

参考URLの[問い2-1]にあるν = [(c√[((nx)^2+(ny)^2+(nz)^2)])/2L] という関係式が出発地点となる式ですから、これを ν＝c/λ を使って波長の式に直してからスタートしてもゴールまで行けるはずです。いろいろ試して遊んでみて下さい。

お礼

分かりやすく助かりました。
とてもご親切にありがとうございます！！
証明が苦手だから覚えてしまうっていうのは良くないですしね。
ありがとうございました！

回答No.1

101325

> dN(λ)=(8π/λ^4)dλ　ということなのでしょうか？？
はい。そうです。
> おそらく球の表面積?かなにかが関係しているのかと思うのですが。
はい。球の表面積が関係しています。

参考URLの「2.2 箱に閉じこめられた電磁波」に丁寧な解説があります（[問い2-1]より前の部分は、少し難しいかも）。一辺Lの立方体型をした空洞を考えて、その空洞のなかにある振動子の数（電磁波のモードの数）を勘定する、というのがポイントです。

参考URLでは、レイリー・ジーンズの式が振動数νで表されていますけど、

　ν＝c/λ, dν＝-(c/λ^2)・dλ，E＝dU/dν

を使えば、波長λで表した式に変換できるはずです（振動数ν~ν+dνが波長λ~λ-dλに対応すると考えれば、負号は落とせます）。

がんばって下さい。

参考URL：

http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/qm2006/qm2.html

補足

回答ありがとうございます。
参考URLは大変重宝させていただきました。

ですが、dU=kT・dN(λ) の式から続けて導く方法が知りたいと思いました。

これは原理的に無理なのでしょうか？