ローラン展開の位数

質問

f(z) = e^x / ((z-1)(z-2)) はz=2を1位の極にもち、
f(z) = 1/(z^2(z-1)) はz=0を2位の極に持つらしいのですが、

例えばf(z) = 1/(z^2(z-1)) なのですが、z=0を考えるときに、
分母のz^2 以外のzに0を入れるイメージで定数化してしまい、
f(z) = - 1/z^2 という形を考えてz=0を2位の極と考えるのでしょうか？
それともこういう考えは誤りで、ローラン展開をしっかりと
やる必要があるのでしょうか？

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

＞分母のz^2 以外のzに0を入れるイメージで定数化してしまい、

そういうことです．ただし定数じゃないので
定数にしてはいけませんが，
「定数化」は言葉のあやだと解釈しておきます．

一変数の複素関数は
極や零点が孤立してるので，
その近傍で考えるときにはそれ以外の点は
挙動に影響しません．
そのうち「芽」（germ）という概念を習うでしょうが
これがその概念の基本になります．

けど，最初のうちは練習もかねて計算しておくことをお勧めします．

お礼

ありがとうございます。
読んだ資料に簡単に○○位とか説明されていたので、
ローラン展開しなくても、簡単に考えていいのかな？
と思いました。

はい。複素関数論が着実に身につくまで、
きちんと展開もしてみたいとおもいます。
ありがとうございました。