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無限数列での定義
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1に収束すると言います。 質問の方の考えは「限りなく近づくのだから、それまでは違った値をとっていなくてはいけないのではないか」ということでしょうか? 無限等比数列{r^n}の極限を考えるときに教科書にはっきりこんな場合の事が書いてあります。 0<r<1のときは違う値をとりながら0へ近づいていくので質問者はすっきりしていると思いますが、r=0やr=1のときにはこんなふうに書いてあります。 「r=1のとき数列{r^n}の全ての項が1であるから、このとき、{r^n}は1に収束する。すなわちlim[n→∞]r^n=1」 「高校での極限の定義はいい加減なので」とかかれてありましたが、教科書はよく読むときちんと書いてあるものです。
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- kabaokaba
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>数列{1/n}の極限は0で、この数列は0に収束すると言えます。 いやそうではなくって, 極限が0になることを「0に収束する」というのです. 定義です. そしてずっと同じなら極限はその値で, その値に収束です. 質問者は高校生なのだろうか? 高校での極限の定義はいい加減なので こういう疑問はでてきても仕方がないのかもしれない.
お礼
お礼の欄に記入することをお許しください。補足内容の修正です。 後者の数列では、ある有限の数を代入すると1になります。同様にn→∞すると1に限りなく近くなるのではなく、1そのものになります。 という部分ですが、 後者の数列では、ある有限項目での値は1になります。同様に∞項目での値は1に限りなく近くなるのではなく、1そのものになります。 と直してお読みください。
補足
質問の仕方が悪かったようです。 恐らくkabaokabaさんは、「後者の数列の極限は1である。では、この数列は1に収束すると言えるのか?」と捉えたのでしょう。 私の質問の意図は、「後者の数列の極限は1なのか?」ということです。 前者の数列では、どのような有限の数をnに代入しても0にはなりません。n→∞とすることで0に限りなく近くなります。そしてこれが極限の値ということになります。 後者の数列では、ある有限の数を代入すると1になります。同様にn→∞すると1に限りなく近くなるのではなく、1そのものになります。 ウィキペディアによると、『数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという。』とあります。 1そのものになるわけですから、それを極限と呼べるかどうか、知りたかったのです。 私の不備のために不快な思いをされたかと思います。 すみませんでした。
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