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星(★)の角度
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図が書ければ一発で終わるのですが^^; 星の頂点を上をAとして右回りに順にB~Eとおきます。 また付け根の部分をAとBの間の部分をFとして同様にG~Jとします。 A EJ FB I G H D C となります。 FG、GH・・・JFに線を引きます。 三角形FCEを考えると ∠FCE+∠FEC=∠AFE 三角形BDJを考えると ∠BDJ+∠DBJ=∠BJA 三角形AFJを考えると ∠AFJ+∠FJA+∠JAF=頂点の5角度=180度
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- puni2
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きちんとした証明はすでに出ていますので,直感的な「説明」。 みなさん同様に,とんがった点をそれぞれA~Eとします。 そして,点Dから点Aの方向に向けて,鉛筆を置きます(べつにペンでも矢でもかまいません。要するに「矢印」っぽいもの)。 このとき,鉛筆の長さはなるべく長めのものがいいでしょう(線分DAよりも長いほうが分かりやすい)。 ここまでが準備です。 さて,今からこの鉛筆を,5個ある頂点のそれぞれの内角の角度ずつ,回して行きます。 まず,D点を中心として,鉛筆を∠ADBと同じだけ回すと,Dのところに鉛筆のお尻を置いて,先端をAの方向から時計周りに回して,Bの方向に向けることになります。 次に,∠EBDと同じだけ回します。今度はB点を中心として回します。すると,鉛筆のお尻がDのほうからEのほうに回り,鉛筆はEからBのほうを向きます。 次に,∠BECと同じだけ回します。今度はE点を中心として回します。すると,鉛筆の先端がBのほうからCのほうに回り,鉛筆はEからCのほうを向きます。 次に,∠ACEと同じだけ回します。今度はC点を中心として回します。すると,鉛筆のお尻がEのほうからAのほうに回り,鉛筆はAからCのほうを向きます。 最後に,∠DACと同じだけ回します。今度はA点を中心として回します。すると,鉛筆の先端がCのほうからDのほうに回り,最終的に鉛筆はAからDのほうを向きます。 というわけで,最初はDからA方向を向いていたものが,少しずつ時計周りに回転して行って,最後にはAからDの方向を向きましたね。 言葉で説明すると冗長になってしまいますが,実際に試してみると,180°回ったことがすぐに分かります。 ところで,No.5: >二次方程式を使えば解けました。 二元(連立)方程式ではないでしょうか? もっとも中学入試の解答としては,方程式を極力使わないように証明すべきでしょうが。
- nozomi500
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図が書けないので説明しづらいのですが、とりあえず、三角形に分けて考えてみては? 中央の五角形を含む大きな三角形と、外の部分だけの小さな三角形3つ。 外角や補角をつかうと、うまく「大きな三角形」に押し込むことができますから、180度。 >…ところで、五角形の頂角の和が540度っての、 >どうやって証明しましょうか?(^^; これって、三角形3つに分割すれば、すぐですね。
- minotaka
- ベストアンサー率10% (14/129)
二次方程式を使えば解けました。 とがってるところをxにし、適当なところをyにして二次方程式作れば解けると思います。
- nobunojo
- ベストアンサー率29% (122/407)
証明する、と言っても、 どのレベルから証明すればいいのかがわからないのですが…。 とりあえず、正五角形の内角の我が540度、 ということを自明の理としていいのであれば、 だいたい次のように説明できますね。 図を書きながら確かめて見ましょう。 まず、正五角形の角にABCDEと名前をつけます。 ACに1本対角線を引き、三角形ABCを作ります。 このとき、できた二等辺三角形ABCの頂角Bの角度は 540÷5=108度、 残り二つの角BAC、角BCAの角度はいずれも (180-108)÷2=36度です。 つぎに、対角線を同じ角からもう1本ADを引き、 三角形ADEを作ったとき、 角DACの角度も同じように36度です。 角EABは五角形の頂点ですから108度ですが、 角EABは角BACと角DACと角CADの和です。 このとき角BACも角DACも36度ですから、 残った角CADは108-36-36=36度です。 この角CADが、星型(五芒星、☆)のとんがった角にあたり、 これが5つあるのですから36×5=180、となります。 …ところで、五角形の頂角の和が540度っての、 どうやって証明しましょうか?(^^;
- gtozeki
- ベストアンサー率22% (11/50)
これは「2つの内角の和はそのとなりにない外角の大きさに等しい」を使うといいですね。★のそれぞれとがっている角度を×とします。 それからその図形内にある三角形のうち×2つ使うとその和が外角になり、××の大きさになります。そう考えると、出っ張っている小さな三角形は×5つ分の大きさになります。すなわち×5つで180度。 ★も×5つですね。つまりこれで証明完了です。 コレを上手に証明してください。
お礼
2つの内角の和は、そのとなりにない外角の大きさに等しい って事をすっかり忘れてしまってました。ありがとうございました。
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