流体における拡散と分散の違いを教えてください

質問

流体の運動における拡散と分散の違いを、事例でなく定義として小中学生に説明する場合、どう説明すべきでしょうか?
また波動を例にとって説明する場合、波がどうなるのが拡散で、どうなるのが分散なのでしょうか?
どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.5

tgb

ANo.3,4です。再々の投稿ですがよろしくお願い致します。

　その後、質問内容を見直して気づきましたが、質問者さんの御質問は流体(水)の波についてと言う事だったのですね！　大変失礼しました。これですと、ANo.3,4は議論が一般の拡散・分散の話になっていて、とんだピントはずれの回答と言う事になります。Ano.3では媒体中の物質の拡散の話を持ち出して恥ずかしい次第です。中学生向けの重力下の水面に生じる波についての拡散・分散(共に波について)という事なら話が絞られてきます。
　この場合、拡散としては同心円状に広がる波(ANo.2さんの御提示)や小さな穴の空いた仕切の片側からの波が穴を通して反対側に漏れる波(半円状)の現象が挙げられると思います。波は中心から外(進行方向、半径方向)に向かって進むにつれ拡散して行きます。どの円周上においてもエネルギーの総量は同じですから円周が広がるにつれてエネルギ密度が小さくなって行きますが、波の進行方向に対して波の性質が変わらず(後の分散で述べるような性質の変化を伴わずに)伝わる場合です。この事を波が拡散すると表現したのだと思います。但し、これは実際に例えば小石を池に落とした場合に拡散のみで伝わると言う事ではありません。どのようなレベルでかは分かりませんが、実際の現象では拡散以外の効果も含まれた複合的な現象になると思います。
　分散は少し難しいですが、私などの説明よりわかりやすく上手に説明されている(アニメ付き)HPを見つけましたので挙げておきます。そちらをご参照ください。
　http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/hadou/bunsan/bunsan_demo.html
ただ、ここではこのような現象をなぜ分散というのかについては説明がないのでこの点について私の考えたことを補足として付け加えておきます。
　同HPに「この波束が移動していく速さは「群速度」と呼ばれ、合成波の細かい振動が移動していく速さ（「位相速度」という）とは全く異なります。分散がなければ、群速度と位相速度とは同じ値になります。」とありますが、位相速度はω/ｋ、群速度はｄω/ｄｋで表されます。位相速度は単一の波数に対応する波の進む速さでsinの中身(位相)を空間・時間でどのように変化するか検討する事により導かれます。群速度は様々なｋ(波数)の合わさった波に対してそのω(角周波数)がｋの関数で表されるとして、ｋが近接したものを取りだして考えたとき、その波数の近接した波が全体として群速度(ｄω/ｄｋ)で進むというもので、２つの波についてどうなるかを見たのが当該HPのアニメです。群速度については全体としての波(個々の細かい山の振幅が大きくなったり小さくなったりするその一群の集まり)の例えば山の部分(振幅が最も大きくなった部分)の進む速さが(ω1－ω2)/(k1-k2)＝Δω/Δｋになる事が２つのsin波の合成の関数形を変形する事により簡単に確認できます。ここでは２つの波のみの表示ですが、波の現象として全体を見る場合は異なる波数の組は他にも多数存在します。また、単にペアとして見ればよいのではなく、ある波数近傍の波全体として捉える必要があります。この時、それぞれの波数(仮に代表値としてｋi,i=1,2,3...)に対応するその近傍の波数を持つ波(仮に部分波i)については群速度(ｄω/ｄｋ)iが与えられる事になり、部分波iごとに群速度が異なる事になります。するとこれらの部分波iは時間の経過と共にお互いに離れていく事になります。これはイメージとしては１つだった波が分散した事になります。このような捉え方をすれば「分散」とした事の意味が理解できるのではないかと思います。また、ωがｋに依存しない場合はｄω/ｄｋは一定値vとなりこれからω＝ｖ・ｋとなります。これは位相速度ω/ｋがｖになる事を示します。この事からωがｋに依存しない場合(＝分散がない場合)は位相速度と群速度が一致する事が分かります。更に、群速度(ｄω/ｄｋ)が一定という事は各部分波iは全て同一の速さで進むという事を意味し、波が離れていく現象は起こらない事になります。即ち、分散がない場合は波は離れて行きません。
　(分散を拡散と言い換えられる云々についてはAno.3の通りです)

以下は一応Ano.4の補足に対するものです。上の回答により不要かも知れませんがせっかく考えた(上に述べて事は考慮に入っていません)ものですし、御質問に答えたものなので良ければ、参考にしてください。

＞この解釈はよいでしょうか?
　少し言葉足らずだったようです。元々、強い主張をしている訳ではないので、軽い気持ちで書いたものです。詳しい説明を聞いてなんだそんな事かという事になりかねないので、その事を了承の上でお願いします。

a.(２つは)同じ現象であるが捉え方の違いで名称がことなる
b.１つの現象であっても捉え方の違いでことなる名称をあてる事ができる

　「両者とも、"ある1つの現象に対し、2つの異なる名称が存在しうる"、という事については同じ」なのはその通りです。
　a.では、同じ現象のセット(２組又はそれ以上のセットでも良い)をいくつか持ってきたとき、各セット内でことなる名称が存在すると主張している事になります。これは現在知られている現象について一般的に主張したと考えられます。
　b.では一般的に知られている現象についてどうなっているかについては言及していません。一般的に知られている現象から１つを取り出して(１つ以上でもかまいませんが)別の名称を与える事も可能であると主張しています。従って、もしこの事が頻繁に実行されて今日に至っているとしたらa.のような状況が生じている事になります。しかし頻繁に実行されたかどうかについては言及していません。その分だけa.よりも弱い主張になっています。
　そこで私の意見としては頻繁には実行されないかも知れないがあり得る事なので名称にこだわらない方が良いと言う事です。意見としては頻繁かどうかと言うよりもこだわるなと言う方に重きを置いています。
　賛成しないと言う程度の事を言うのに誇張して反対に近いように表現したり、説明不足だったりといろいろご迷惑を掛けてコミュニケーションがスムーズにいっていませんが、この点についてはお詫び致します。

＞同じ無次元スケールとして観察した場合、拡散と分散は同じ
現象と言えるということでしょうか
　先ず、ここでの話は河川における物質の拡散という事に限定されています。ここで言おうとしている事は拡散がいろいろなスケールで行われていて、小さいレベルでは分子拡散、大きいレベルでは乱流拡散があり、特に乱流拡散の場合、分子拡散に類似した部分(乱流拡散でも比較的小さいスケールに基づく)と分散と呼ぶ事にした部分(乱流拡散でも比較的大きいスケールに基づく)があるという事です。ここで重要なのは教科書的に昔からそう言う現象があるという事ではなく、観察に基づいてそう言う現象を見つけて、それが拡散におけるスケールの違いであろうと考えて、特に後者の拡散については分散と命名しようととした(命名した)人がいたと言う事です。他の分類との命名の整合性を考えるなら「分散拡散」とでも命名した方が良いとも言えます。拡散と分散がある条件の下に同じ現象と言えるものになったと言う事ではなく、ある現象を見つけてそう命名したと言う事です。
　"分類の仕方の違い"と言うのは全ての現象に対してそうだと言っているのではなく、この例のように同じ拡散という現象を２つに分類してその一方に分散と命名するような例もあるので頭から拡散と分散は異なる現象だとしてその違いを議論しようとすると混乱する場合もあるのではないかと言いたい訳です。

＞ご説明いただいている拡散、分散は広義の定義？
　ここで使用している拡散・分散と言う用語については、拡散については特に広義という事はないと思います。一般的と言う言い方が適切のように思います。分散については逆に特殊な用語の例だと思います。(Ano.3はこのように特殊な場合もあるので気をつけるべきと言う意図を持った説明です)
＞狭義の定義、#2の補足欄に記載の疑問
　上に述べた通りであり、今回ご質問の内容に関連するという条件で考えると、Ano.3の説明はそこから発展して興味のある知見が得られるようなものではないと思います。(ご期待に添えなくて残念です)

回答No.4

tgb

ANo.3です。訂正・補足を兼ねて再度投稿させて頂きます。

・(２つは)同じ現象であるが捉え方の違いで名称がことなる
・１つの現象であっても捉え方の違いでことなる名称をあてる事ができる
　表現が微妙ですが、私の主張は後者です。(前回の私のコメントからは前者と解釈されてもしょうがない？)。

　拡散・分散の区別が曖昧な例としてANo.1の方が提供されている資料が挙げられます。ここでは、
　(ANo.1さんを差し置いて細かい言及をする事をお許しください)拡散(が分子拡散＋乱流拡散＋分散の３つに分類されていいてその分類の中)の１つが分散になっています。
　この分散(このHPにおいて筆者が言うところの分散)について私が考えたことを述べてみます。
先ず、どのような現象なのかと言う事ですが、質問者さんの「説明ではピンときませんでした」と言うコメントがあったので、私なりの説明をしてみます。川にインクをちょうど１本の糸を縦にうまく水中に垂れたように滴下できたとします。このインクは下流に流されながら分子拡散によって次第に薄く太くなるように変化します。この現象は流れに関係なく(独立に)進行します。一方、川の水は乱流としては、いくつもの小さい固まりとなって水中を動き回っているように見る事ができます。インクの分子拡散はこの固まりの中で行われる事になります。従ってインクの拡散としては固まり内の分子拡散に加えてこの固まりとしての拡散の効果も受ける事になります。これが乱流拡散です。乱流拡散はその仕組みから分子拡散よりはその効果が大きいものの、構造としては分子拡散に似ていて、場合によっては拡散係数を大きくするだけで現象としての表現(近似表現)が可能な場合もあると考えられます。但し、この場合は乱流構造の空間分布に違いがあれば場所ごとに拡散係数を変更する事が必要になり、空間分布は平均流や乱流構造に依存して決まりますのでこの設定は難しく注意が必要だと思います(分子拡散では空間分布は考えない即ち一定)。　以上は質問者さんも既にご存じかも知れません。川の流れとしての乱流構造は実際は複雑でそのスケールは様々です。その内の大きいものは見た目でも確認できるような、乱流と言うよりは流れの乱れと言った方が表現として適切なものもあります。このようなある程度スケールの大きい乱れを持つ流れによると、糸が全体として太くなるだけでなく、これに加えて当該ＨＰの絵にあるようにくねくねしたり、絡まったり、場合によっては切れたりする事になります。このＨＰではこれを分散と言っているようです。従って、ここでの乱流拡散と分散とは、一応イメージとして違いを考える事はできますが、乱流スケールの違いによる大雑把な２分と言う事であって、ここまでが乱流拡散でここからは分散と言ったような線引きや、インクが拡散する中でこれが乱流拡散でこれが分散というような区別を明確に行う事ができるものではないと思います。
　ここでの分散という名称の命名ですが、１本の糸がちぎれて分かれていくというイメージから分散と命名したのではないかと思っています。

　もちろん、全て曖昧だと主張しようとしている訳ではないし、また、明確に異なると思える二つの現象に対してまで拡散、分散は区別する必要はないと主張している訳でもありません。
　上に挙げた例等を参考に、拡散・分散は違う現象の筈であるとしてその違いを議論するよりは現に対象としているその現象を拡散と表現すべきかそれとも分散とすべきかの議論の方が実があるように思いますがいかがでしょうか。その際、Ano.3の方法を参考にして頂ければと思う訳です。

　最後に訂正(撤回)ですが、
＞逆にはじめからそれほど明確に区別されたものではないのではないかと思います。
これは表現が強すぎるようです。(書いたときはそれほど強い意味は意図していなかったのですが．．．)
＞最初に命名する人のそれほど厳密でない選択
これも厳密でない場合が多いように解釈されても文句を言えません。

補足

再度ご回答いただきまして、ありがとうございます。

しつこくて恐縮ですが、tgbさんは真に理解されている方とお見受けしますので、もしよろしければ、いただいたご回答につきまして以下について教えてください。

>・(２つは)同じ現象であるが捉え方の違いで名称がことなる
>・１つの現象であっても捉え方の違いでことなる名称をあてる事ができる

お恥ずかしいですがこれらの違いがよくわかりませんでした。違いをご解説いただけませんでしょうか。
後者は前者と比較し、自由度の有無だけの違いであって、両者とも、"ある1つの現象に対し、2つの異なる名称が存在しうる"、という事については同じと思われますが、この解釈はよいでしょうか?

また、#1にリンクされている内容のご解説について、
>乱流スケールの違いによる大雑把な２分と言う事であって、ここまでが乱流拡散でここからは分散と言ったような線引きや、インクが拡散する中でこれが乱流拡散でこれが分散というような区別を明確に行う事ができるものではないと思います。

とご回答いただいておりますが、スケールの違いで分類が分けられるということは、スケールを一般化(無次元化)し、高波数の現象(ミクロの乱流)と低波数の現象(マクロの乱流)を同じ無次元スケールとして観察した場合、拡散と分散は同じ現象と言えるということでしょうか?
#3のお礼欄に記載させていただいたように数式で違いがあるため、今回の質問に対する答えが、"分類の仕方の違い"というのはやはり理解ができませんでした。

ご説明いただいている拡散、分散は広義の定義であり、私が述べた数式上の拡散、分散は狭義の定義なのかもしれない、と今ふと思ったのですがいかがでしょうか?
もしそうだとすると、狭義の定義について興味があり、もしこちらにつきましても知見をおもちでいらっしゃいましたら教えていただきたく、具体的には#2の補足欄に記載させていただいたような疑問がクリアになると、現象がイメージできるのですが。。。

本ご回答を投稿頂くのにお時間かかったこと推測し、感謝致しております。
恐縮ですが、上記につきまして再度お時間いただけたら幸いです。

回答No.3

tgb

ANo.1の方が言われるように分かりにくいと思います。逆にはじめからそれほど明確に区別されたものではないのではないかと思います。
　そこで区別するならと言う事で考えてみましたが、
ある現象を命名するならどうするかという立場で考えてみると、
言葉のイメージからして、
・拡散は元々複数あったものが空間時間的に離れて広がる現象に対して使う
・分散は１つのものがいくつかに分かれていく場合に使う
ぐらいの違いだろうと思います。ここで複数か単数かは初めて命名する人が感覚的にどう捉えたかに大きく依存するものであって厳密なものではないと思います。
例えばプリズムによって光が７色に分かれる場合は元の光が１つだったと考えるので分散となり、
川に流された物質が薄められていく場合は何らかの分子が離れると考えて拡散となります。
波の場合で言えば、最初一カ所にあって合成されていた波が進行速度の違いにより分かれて行く場合、
見た目の現象で捉えて１つの波があって分かれるとすれば分散であり、元々複数の波であったと捉えれば拡散と考える事もできる訳で、最初に命名する人のそれほど厳密でない選択(たかが名前なので分かればよい)に依存すると思います。

　それほど自信を持って答えたものではありませんので、実際にどう使われているか改めて確認してみたらいいと思います。教える場合に正しく教えるのは必要ですが、そのために細かい点をくどくど説明すると逆に理解が難しくなるという事もあり得ると思います。
　私はこれまで拡散と分散の違いはと言う点で考えた事はなく、与えられた現象につけられた名前をそのまま何となく覚えてきたように思います。中学生だったら教えると言うよりは質問されたら答えるという程度でいいように思えます。(よけいなお世話で失礼しました)

お礼

ご回答ありがとうございました。

同じ現象であるが捉え方の違いで名称がことなるだけではないかというご説明と拝読いたしましたが、拡散と分散が違う現象であることは間違いありませんので、単なる命名の違いではないように思います。

波動方程式を離散化すると、離散化の方法によって発生する2階微分項や3階微分項がそれぞれ拡散と分散を表す項であり、数式が表すようにそれぞれの物理は違います。

ここまではわかっているのですが、今回は現象の違いを知ることが目的のため丸暗記ではなく、数式でもなく、具体的にある現象がどうなるのが拡散、どうなるのが分散か知りたかったのです。

この度はどうもありがとうございました。

回答No.2

tera_tora

拡散現象は波の高さを低くする効果です。一次元的に考えて、波が時間と共に波が低くなっていく効果を言います。エネルギーの消散(エネルギーが質の低い熱になる現象：簡単に言えば摩擦のようなもの)と分子運動による周囲へのエネルギーの拡散に由来する現象です。具体的に波の現象で例えるのは難しいですが。煙突から出た煙が時間と共に広がっていく現象や熱の物質内の伝播現象などがそれに当たります(どちらも解析上では波動として扱うことができます)。ただし、二、三次元的な波の広がり(同心円に広がるような波や地震や音のような三次元で伝わる波)による波の高さの低下は、エネルギー密度の低下によるものですのでちょっと仕組みが違うので注意してください。

一方、分散現象ですが、こっちのほうが説明が大変です(汗)。

分散効果は、ソリトン波(安定な孤立波)でよく見られる現象です。ソリトン波についてはwikipedia等を参考にしてください(簡潔に書いてあると思います)。けど、wikipedia上にはソリトン波と分散の関係については説明されていません。具体例で言いますと、浅瀬において、波が変形していく現象がいわゆるソリトン波の分散に相当するものだと思います。イメージでつかめるでしょうか？波が時間と共に前のめりになる現象です。例えばですが、津波が壁の様に切り立った状態で迫ってくる映像とかあるいはアニメーションを見たことがありませんでしょうか？あれがソリトン波の分散の一種です。もともと波は正弦波のような形状ですが、進行方向前側の波の勾配はきつく、後側は勾配が緩い感じになっている状態です。

解析上では、流体や波動の偏微分方程式中の2階微分(偶数階微分)項が拡散現象を表現し3階微分(1階を除く奇数階微分項)項が分散現象を表現します。

以上、分かりやすく説明できたかどうかは自信ないですが、ご参考までに。

補足

たいへん詳しくご回答ありがとうございます。

拡散はわかり易いですね。拡散について1点確認させていただきたいのですが、単純SIN波が拡散すると振幅のみが変化し、周波数の変化はないと考えてよいでしょうか? それとも元の単純SIN波が持っていた周波数も拡散し、例えば横軸周波数、縦軸振幅でグラフ化した場合、もともと1本のパルス状(棒状)であったグラフが、拡散後は横に広がり、高さが下がる形になるのでしょうか ?

分散のご解説、分散が生じると波形変化するということはわかりました。分散は波形が必ず前のめりになるのでしょうか? それとも後ろのめりもあり得ますでしょうか? 分散による波形変化の物理がよく分かっていないので一般論では前後どちらもありうるのか、よろしければ教えてください。

また波動方程式についてのご指摘についてですが、波動方程式に3階微分項はないので、空間離散化後のお話と推しますが、例えば2次風上で離散化し、3階微分項が空間離散化後の常微分方程式に含まれる場合、単純SIN波の伝播を計算すると具体的にどのように波形が変化するのでしょうか? 例えば上記のように横軸周波数、縦軸振幅でグラフ化した場合、どうなるのか教えていただけませんでしょうか?

自分でコーディングして計算すればよいのですが、恐縮ですがご教授いただけると幸いです。

回答No.1

N64

たしかに非常にわかりにくい。
化学分野と流体分野、分野が違うと違いがあるようにもとれる。
流体分野ではこの資料が比較的わかりやすい。
http://www.cv.titech.ac.jp/~turase/lecture/mkk4d.ppt
波動については、まったくわかりません。

補足

ご回答ありがとうございました。
リンク拝見いたしました。
拡散についてはわかり易いですが、分散が今１つピンと来ませんでした。前者は身の回りの現象でよくあるものですのでよく分かりますが、後者がわかりにくいのは身の回りでの事例がそれほど 多くないのでしょうか?
私も川の流れで分散を解説した事例しか見たことがなく、この説明ではピンときませんでした。
ありがとうございました。追加情報あればまたよろしくお願いいたします。