ランダム誤差と系統誤差

質問

ランダム誤差→極限的に正規分布に従うようなランダムな誤差
系統誤差→「真の値」にたいして系統的にずれて観測されるランダムでない誤差

として、普通のものさしなどの公差や、読み取り誤差、また、電流計の公差はどちらにあたるでしょうか？

回答No.6

foobar · ベストアンサー

#5お礼欄に関して
>Ａ．「極限的に正規分布に従うようなランダムな誤差」
>Ｂ．「多数測定で誤差を低減できる」
>というのが全く同じことのように感じるということです。
多分同じことを別の表現で表しているのだと思います。

で、(1),(2)に関して、(2)は必ずしも成立しないような。(中心極限定理って、母集団の分布が正規分布である必要はなかったかと)

測定誤差に関しては、
a)真値がAの事象があって、
b)これを無限回測定したと仮定すると、測定結果は、平均値A'、分散σ2の集団になる。
c)有限回の測定は、b)を母集団として、そこから有限個抽出する操作に該当。
d)c)の平均値はb)の平均値A'に収束し、分散はσ2/N(中心極限定理)の正規分布に収束する

統計処理はc)からb)を推定する処理で、A'とAの差異（これが系統誤差になるかと）は検出できないように思います。

回答No.5

foobar

中心極限定理によると、N回測定を繰り返して平均をとると、平均値の分散はσ^2/Nになります。
つまり、Nをどんどん大きくしていけば、平均値の分散は0に近付き（期待値の近くに集まり）、バラツキは小さくなることが期待できます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

すみません、話がそれてしまい分かりにくくなってしまいましたが、疑問点はとことん解決してみたいと思うのでどうかお付き合いください；

とりあえずいまの疑問点としては、ランダム誤差の定義として、はじめに自分の言った

Ａ．「極限的に正規分布に従うようなランダムな誤差」

と、foobar さんのおっしゃった

Ｂ．「多数測定で誤差を低減できる」

というのが全く同じことのように感じるということです。

(1)Ａ→Ｂ
Ａ.ランダム誤差は正規分布に従う
↓（ほぼ自明）
Ｂ.多数回の計測で誤差を減らせる

(2)Ｂ→Ａ
Ｂ.誤差が低減できる
（中心極限定理により Ｎ回測定の誤差の平均値は正規分布に従うため、それを利用してＮを増やすことで誤差を低減する）
↓
Ａ.１回測定の平均（１回測定したときの誤差そのもの）も当然正規分布に従う

自分で当然とか書いておきながら最後のところがおかしい気も、、、しますが＾＾；それが間違っていれば中心極限定理を理解できていないのかもしてません。
逆にこれがあっていれば統計学でいう所の誤差（＝真の値からのずれ）というのは母集団がどんな分布であれ正規分布にしたがうということですよね？そうなってくると、ランダム誤差でない誤差は中心極限定理でいうところの（つまり統計学でいう所の）誤差の範疇外？でしょうか。

そもそもＮ回の測定のＮを１と読み替えることは反則なのかどうか・・。

おそらく間違いはあるとは思いますが、、どうでしょうか？

回答No.4

foobar

>疑問点としては、普通、実験機器の公差と言ったときに、
>１．１つの機器で繰り返し測った時にランダムであらわれる誤差のばらつき
>２．多くの機器を作った時にその機器ごとに（系統的に）現れる誤差のばらつき
両方含めるように思います。
（2.は測定器だと「器差」と呼ばれるかな。）
＃３さん回答にあるように、校正表などを使えば、２．は小さくはできますが、0にはできません。（校正用に使用した機材の誤差程度はどうしても残ってしまう）

ランダム誤差と系統誤差
(同一条件下で）多数の測定を行い結果を平均することで低減できる部分が「ランダム誤差」、平均をとっても低減できない部分を「系統誤差」として扱うことも多いかと思います。

また、環境が要因として入る場合でも、使用環境を範囲を決めて、その条件下での誤差を全部ひっくるめて仕様として定めることもあります。（例えば、使用温度範囲や湿度範囲、電源電圧の範囲を定めて、その範囲内で使うときには、規定の誤差以内に収まる、という具合に。）

お礼

>(同一条件下で）多数の測定を行い結果を平均することで低減できる部分が「ランダム誤差」

とのことですが、中心極限定理によれば、これは必ず正規分布になるような気もするのですがどうでしょうか。

間違っていればご指摘ください。

//
後、下のお礼で「公差（器差？）」と書いた部分は言葉の使い方を間違えました；

回答No.3

masa2211

＞１．１つの機器で繰り返し測った時にランダムであらわれる誤差のばらつき
＞２．多くの機器を作った時にその機器ごとに（系統的に）現れる誤差のばらつき
２.は機械定数と言い、そもそも誤差ではありません。
精密測定器、の場合、機械ごとに検定を行い、計器の読み値の補正式が検定表と一緒に送られてきます。
（デジタルの場合、補正係数が新しい値に更新されます。）
したがって、補正式を用いて読み値を補正する必要があり、これをサボるのは測定ミスと同じことです。

ただし、測定精度を必要としない計器の場合、ランダム誤差と系統誤差を足しても要求精度を満足、という場合があるので、
こういう場合は、公差の中に系統誤差を含んでいる場合があるかも。

＞ランダム誤差→極限的に正規分布に従うようなランダムな誤差
＞系統誤差→「真の値」にたいして系統的にずれて観測されるランダムでない誤差
これはちょっと違います。
定誤差（系統誤差） →補正式などで消去可能な誤差。
不定誤差（ランダム誤差）→消去不可能な誤差。

例：巻尺で距離を測る。
・テープがねじれている　→　測定ミス。（誤差ではない）
・川の両岸の距離を測る。テープがたるんでいる　→　定誤差（テープを引張る力を計測する必要あり）
・テープがたるまないよう思い切り引っ張ると、その力によりテープが伸びる。　→定誤差（テープを引張る力を計測する必要あり）
・テープは温度により伸縮する　→　定誤差（テープの温度を計測する必要あり）
・精密測量で100.000ｍとわかっている距離を、テープで測ったら99.98ｍ　→　機械定数。（読んだ値を1.0002倍すればよい）
・masa2211という人間は、若干大きめに値を読むというクセがある。　→定誤差。（注：こういうのは読み取り誤差とは別の現象。）
上記において、引張り力、温度の計測をサボった　→　不定誤差。

例：体重計で着物を着たまま体重を計る。
・着物の重量を1ｋｇと仮定し、体重計の読みから1ｋｇを引く　→　定誤差。
・着物の重さは個人差があるので、1ｋｇからズレている　→　不定誤差。　（どれだけズレているかはわからないので。）
---------------------------------
ここまでおわかりのように、定誤差（系統誤差）は測定環境が大いに関係するため、
公差として公表できる数値でないです。

例：センサーの出力値。
・センサー個別の出力値のクセ　→　機械定数。　（センサーごとに検定値がある。）
・センサー出力の非直線性　→　カーブの形がわかっていれば定誤差、
　わかっていなければ不定誤差。
センサーの非直線性について、たとえばこちら。
http://www.sssj.co.jp/cgi-image/ja/faq/21/1.pdf

この非直線性が、当初の定義だと問題でして、系統誤差を
・「真の値」にたいして系統的にずれて観測されるランダムでない誤差
と定義した場合、カーブの形がわかっていなくても、
・「真の値」にたいして系統的にずれて観測されるのでランダムでない
ことになり、明らかに誤差の値は正規分布にしたがっていません。
でも、補正しようがないというのが最も優先され、不定誤差（ランダム誤差）として扱うしかないです。

＞実際の実験（学生実験または実際の研究現場での実験）では公差はランダム誤差として扱うのが妥当ということでしょうか？
＞それでもし異常があれば系統誤差を検討してみるというような手順になるのですか？
系統誤差とは、機械定数のことを指しているように思えるので、そのつもりで返答します。
実際の研究現場での実験の場合。
計量法により、機器の検定が義務付けられており、検定できるのは、所定の計量機関のみです。
したがって、検定をサボっていれば計測は信用できないし、計器の検定が行われているなら、
その後計器が狂ったか、計測環境が悪くて計器の能力が発揮できない（体重計の例を参照。）か。

結論。
よほど注意深く測定しない限り、計測誤差が公差の範囲に収まっていることは稀な現象です。

お礼

詳しく答えていただきありがとうございます。

少し誤差についてわかってきたような気がします。

＞＞ランダム誤差→極限的に正規分布に従うようなランダムな誤差
＞＞系統誤差→「真の値」にたいして系統的にずれて観測されるランダムでない誤差
＞これはちょっと違います。
＞定誤差（系統誤差） →補正式などで消去可能な誤差。
＞不定誤差（ランダム誤差）→消去不可能な誤差。

とありますが、「計測における誤差解析入門」という本では、

ランダム誤差→測定を繰り返すことによって明らかにできる誤差
系統誤差→繰り返し測定によって明らかにできない誤差

と書いてありました。また、別のページですが、

ランダム誤差を伴う測定は、正規分布を用いることによって記述できる。

とありました。おそらく言葉の定義にはいろいろあるとは思うのですが。

とりあえず、これが正しいとすると、

(1)補正式により修正→機器ごとの差（機械定数）をなくす
(2)実際の測定に関しては、公差（器差？）にはランダム誤差のみがあると考えて計算

※ただし、様々な要因によって系統誤差が入ってくることもある

ということでいいのでしょうか？

要は初めの疑問に立ち返ると、（補正式が与えられていれば、補正式を計算した上で）

「ノギスの公差、電流計の公差はランダム誤差として扱う」

何か勘違いがあればご指摘お願いします。

回答No.2

N64

私は専門家でも何でもないので、お役にたつかどうかわかりませんし、疑問に直接お答えすることもできませんので、私の感じたことだけを、申し上げます。
私が思うに、完全に正規分布になるようなランダム誤差があったとすると、これは、ごく自然に発生した自然現象で、努力によって、誤差の幅を少なくすることはできても、完全になくすことはできません。
しかし、正規分布から外れた系統誤差が発生したら、これは、測定対象か、測定器か、測定者かあるいは測定環境になにか特別な原因がある。もしその原因を突き止めて、なくすことができれば、系統誤差をなくすことができる。その結果、正規分布にしたがうランダムな誤差だけが残る。すなわち、系統誤差が発生したら、システムのどこかに問題があるので、その原因をつきとめて改善すれば、製品の品質を高めたり、測定の精度をあげることができるのではないかと、思います。全く偏りのないシステムなどは、存在しないと思いますので、通常は、多かれ少なかれ、ランダム誤差も系統誤差も同時に発生するものだと思います。これは、あくまでも私の、勝手な妄想ですので、ご容赦ください。

お礼

参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

N64

ランダム誤差と系統誤差については、不勉強ですが、
読み取り誤差は、普通の健康な人が測定するならランダム誤差、目か読み取り用の顕微鏡に異常があれば、ランダム誤差と系統誤差が合計されるのではないでしょうか。

普通のものさしなどの公差や電流計の公差は製造工程によっては、系統誤差が発生するのではないでしょうか。理想的な製造工程なら、ランダム誤差だけが発生すると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

読み取り誤差が普通ランダム誤差として扱われるのは分かる気がします。

公差は理想的な製造工程ならランダム誤差だけということですが、実際の実験（学生実験または実際の研究現場での実験）では公差はランダム誤差として扱うのが妥当ということでしょうか？
それでもし異常があれば系統誤差を検討してみるというような手順になるのですか？

疑問点としては、普通、実験機器の公差と言ったときに、

１．１つの機器で繰り返し測った時にランダムであらわれる誤差のばらつき

２．多くの機器を作った時にその機器ごとに（系統的に）現れる誤差のばらつき

のどちらにあたるのかとういことです。実際の実験では、１．ならばランダム誤差として扱い、２．ならば系統誤差として扱うのが妥当だと思うのですが、、。

１．のような気もしますが、実際に計測機器を作るとなると、平均値が必ず真の値になるような機器を常に作るというのは不可能に近いようにも思います。そうすると、２．の要素はどう考えればいいのか、、。

どうぞご助言ください。