背理法について

質問

つぎの問題教えてください。

√３＝（ａ－ｃ）／（ｂ－ｄ）

ａ＝cかつｂ＝ｄ

両辺が無理数ということで成り立つらしいのですが、
右辺は無理数なのですか？

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

元の正しい問題がないとしょうがないところではありますが,
関連してありがちな話は
[問題]
a+b√3＝c+d√3 ・・・(1) (a,b,c,dは有理数[整数÷整数の分数で表せる数])
のときに, a=c, b=d であることを証明せよ.
[解]
(与式) ⇔ (b-d)√3＝c-a ・・・(2)
ここでもし b-d≠0 とすると 両辺を b-d(≠0)で割って　
√3＝(c-a)/(b-d)
となるが, 仮定によりa,b,c,dは有理数なので, 右辺は有理数(c-aは有理数,b-dも(0でない)有理数だから, 割った分数を整理すればやはり分数), 一方, 左辺の√3は無理数なので不合理(矛盾)である. これは b-d≠0 と仮定したためで, したがってb=dでなければならない.
すると (2)は0=c-a となり a=c も言える.
(逆にa=c,b=dのとき,確かに与式は成立)
したがって, a=c かつ b=d である.

お礼

回答ありがとうございます。

おっしゃるとおりでした。
でも、よく問題を推察できましたね。ぴったりそのとおりです。

b-d≠0 と仮定すると
√3＝(c-a)/(b-d) は、
無理数＝有理数ということはわかったのですが、

b=d、かつa=cと仮定すると
√3＝(c-a)/(b-d) は、
√３＝０で
無理数＝有理数と考えてしまうのですが、もしかして０も
無理数なのですか？
初歩的な質問ですがよろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo

質問の問題そのものの記述が明らかにおかしいので, 正確な問題でないと答えようがありません.

例えばb=dだと分母＝0で不都合です.
他にもきっとa,b,c,dは有理数などの条件があるはず.