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なぜ通りがけをすると昇順に整列されるのか?

2分探索木で通りがけをすると中身が昇順に整列されて出てくる、それは覚えたのですが、なぜそうなるかがわかりません。 試験に「整列されて出ることを帰納法で証明せよ」という問題が出ることを予告されているのですが、なぜかが理論的に理解できていないので出来る気がしません。 どなたか理論をお教えください。

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  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.2

とにかく,実際に二分木を紙にかいて 「自分で手を使って」通りがけを実行してください. そうすれば仕組みが体得できます. 理論的な証明は・・・トリッキーといえばそうですが 大して難しくありませんが,数学的帰納法の「本質」を 理解していないと厳しいかもしれません 受験数学の公式的な理解だとつらいかも. 証明の手順こんな感じ. ここで,i番目に得られる値をA(i)と表記します. STEP 1 A(1)は最小の値である STEP 2 A(i)<A(i+1) STEP 2まで示されれば 実際は「昇順」になる,すなわち A(i)<A(k)<A(i+1)となるようなノードがないことも 自動的に示されます. なお,細かいことは自分で考えてください. 二分木といっても微妙な定義はそれぞれ違うことがありますので. 厳密なことをいえば 「通りがけ」で「すべてのノードを辿れる」ことも 証明すべきことですが, まあこれはスルーしてもいいか,。証明済みとしてもよいのでしょう.

rurur
質問者

お礼

ありがとうございました。参考に頑張ってみます。

その他の回答 (1)

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2127/6289)
回答No.1

二分木のある節と、その節に付随する左部分木、右部分木のデータの間には、 左部分木のデータ<節のデータ<右部分木のデータ という大小関係があります。 また、二分木を通りがけに探索する順序は、 左部分木→節→右部分木です。 これらの情報を使えば、くだんの証明ができるのではないかと思います。

rurur
質問者

お礼

ありがとうございました。頑張ってみます。

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