絶対値を含む不等式の証明（3）

質問

たびたび(^^ゞお世話さまです。

三度、絶対値を含む不等式の証明についてどなたか教えてください。

問題
|a|<1かつ|b|<1ならば|a+b|+|a-b|<2であることを証明せよ。
ただし、a,bは実数とする。

問題集の解答はこうなんですが・・・↓

p=|a+b|+|a-b|とおくと、
p^2=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|
（i）a^2>=b^2のとき、p^2=4a^2
∴ p=2|a|<2(p>0より)
（ⅱ）a^2<b^2のときも同様にp=2|b|<2となる。
∴|a+b|+|a-b|<2

↑解答の意味がわからなくてこまっています。
特にp^2=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|、こうなる部分が疑問です。

私の考えでは、
a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2
=4a^2
になるのですが・・・。

私の方法はまちがっていますでしょうか？
訂正頂けると幸いです。↓

|a+b|+|a-b|<2
=a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2
=4a^2-4
=(2a+2)(2a-2)<0
|a|<1かつ|b|<1なので
よって|a+b|+|a-b|<2
（証終）

回答No.1

teo98

個々の絶対値、は、
|a+b|^2=a^2+2ab+b^2
|a-b|^2=a^2-2ab+b^2
|a+b||a-b|=|a^2-b^2|

∴p^2=(|a+b|+|a-b|)^2
=|a+b|^2+2|a+b||a-b|+|a-b|^2
=2a^2+2b^2+2|a^2-b^2|

このとき、絶対値の式の中身を(i)(ii)で分けてみただけです。

（i）a^2>=b^2のとき、不等式がとれる。
　　　　　p^2=2a^2+2b^2　+2(a^2-b^2)

（ⅱ）a^2<b^2のとき、不等式をとる代わりに負の符号がつく。
　　　　　p^2=2a^2+2b^2　-2(a^2-b^2)

お礼

早速の回答ありがとうございます。

＞|a+b|^2=a^2+2ab+b^2
|a-b|^2=a^2-2ab+b^2
|a+b||a-b|=|a^2-b^2|

ここ。私は勘違いしてました。
おかげで気づきました。

＞（i）a^2>=b^2のとき、不等式がとれる。
　　　　　p^2=2a^2+2b^2　+2(a^2-b^2)

＞（ⅱ）a^2<b^2のとき、不等式をとる代わりに負の符号がつく。
　　　　　p^2=2a^2+2b^2　-2(a^2-b^2)

なんとなく理解できるのですが、私はいままで平方完成して因数分解して
証明されたとして解いていたので、どうもしっくりこないです。

不等式の証明てワンパターンじゃないんでしょうか？？