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積分の答えがあわず困っています。
いつもお世話になっております。 積分の勉強をやっていて、基本的な計算をしていてツボにはまってしまいました。。。 (x+1)^2 = (x^2 + 2x + 1)なのですが それぞれ積分すると ∫(x+1)^2 dx = 1/3(x+1)^3 + C = 1/3(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + C = 1/3x^3 + x^2 + x + 1/3 + C ∫(x^2 + 2x + 1) dx = 1/3x^3 + x^2 + x + C となり値が異なってしまいます。 問題とかではないのですが、確認のためにやってみたら答えが合わず悶々としています。 どなたか説明して頂けると助かります。
- guttten
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#3様のおっしゃるとおりです。 不定積分の場合は、積分定数Cは何でもよい定数です。 下限と上限を与えて定積分をすれば、1/3があってもなくても、定数項は差し引きゼロで、結局同じ答えになります。 #1様、#2様のおっしゃるとおり、 1/3 + C = Cその2 として、 1/3x^3 + x^2 + x + Cその2 とするのがよいです。 ・・・というよりも、 積分は微分の反対ですから、 正しく積分できたかどうかは、求まった積分の式を微分して、元の式に戻ることを確かめればよいです。 1/3 も C も定数項ですから、1回微分すれば消えてしまいます。 ちなみに、積分をした結果、定数(積分定数ではありませんが)が足し算ではなく掛け算になる場合もあります。 たとえば、 C・e^(a+x) (Cとaは定数) といったケースです。 これは、 C・e^(a+x) = C・e^a・e^x = 定数その1×定数その2×e^x = 定数その3・e^x と整理するのがよいわけです。
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