サイコロを7か8の和が出るまで振りつづける。7が8より先にでる確率は6/11

質問

A pair of dice is cast until either the sum of seven or eight appears.
Show that the probability of a seven an eigt is 6/11.

「サイコロを7か8の和が出るまで振りつづける。7が8より先にでる確率は6/11である事を示せ」

という問題なのです。

7になる場合は(1,6),(2,5),(4,3),(6,1),(5,2),(3,4)
8になる場合は(2,6),(3,5),(4,4),(6,2),(5,3)

、、、でここからどうするのかわかりません。

"7が8より先にでる"という確率は式でどのように表現できるのか分かりません。どのように書けますでしょうか?

回答No.5

Quattro99 · ベストアンサー

「7が8より先に出る」と考えるとわかりにくいですが、問題文にもあるように「7か8が出るまで降り続けた」とき「それが7である確率」と考えればよいと思います。

1回目に決着する場合、6/36、5/36 （前者が7である確率、後者が8である確率）。
2回目に決着する場合、a*6/36、a*5/36 （aは1回目で決着が付かない確率）
3回目に決着する場合、b*6/36、b*5/36 （bは2枚目までに決着が付かない確率）
．．．
となります。
従って、7である確率は(a+b+c+．．．)*6/36、8である確率は(a+b+c+．．．)*5/36です。
求めたい確率は、「7である確率」/(「7である確率」+「8である確率」)ですから、6/11となります。

お礼

どうも詳細なご説明有難うございました。
意外と簡単なのですね。
お陰様で解決致しました。

回答No.4

age_momo

『ランダムに重ねた52枚のトランプがある。上から順番に開いていくとき
スペードの中でAが一番最初に出てくる確率はいくつか？』
こういう場合、題意に合わないハートやその他のカードは無視して
スペード13枚の中でAが最初に出てくる確率となるので
1/13となる。
この問題も7が6通り、8が5通りそれ以外は無視して6/(6+5)となります。

一度、愚直に計算してみましょう。

Aという事象が起こる確率をa,Bという事象が起こる確率をb、
それ以外の事象が起こる確率は(1-a-b)とすると

A,B以外の事象が起こり続けてk回目で初めてAが起こる確率は

(1-a-b)^(k-1)*a

AがBより先に起こる確率は

a+(1-a-b)*a+(1-a-b)^2*a+(1-a-b)^3*a+・・・=aΣ[k=0→∞](1-a-b)^k
=a/(a+b)

∵Σ[k=0→∞](1-a-b)^k=lim[n→∞]{1-(1-a-b)^n}/{1-(1-a-b)}=1/(a+b)

お礼

どうも詳細なご説明有難うございました。
意外と簡単なのですね。
お陰様で解決致しました。

回答No.3

noname#49614

＃１です

５と６が逆でした申し訳ない…

お礼

どうも詳細なご説明有難うございました。
意外と簡単なのですね。
お陰様で解決致しました。

回答No.2

at9_am

いくつか方法がありますが最も簡単な方法を。

さいころを２個ふって出る目は、7 か 8 かそれ以外です。このうち、7 か 8 かが出るまで降り続けるとすれば、それ以外が出続ける確率は回数が増すに従って小さくなり、無限回ふるとすればゼロになります。ということで 7 か 8 が出る確率でのみ考えればよいので、X は目の和とし、等確率で起こる事象が 7 の場合は 6 通り、8 の場合は 5 通りあることから条件付確率として、

P(X = 7| X = {7, 8}) = 6/11
P(X = 8| X = {7, 8}) = 5/11

となります。

複雑な方法としては、例えばマルコフ連鎖の極限を考えることでも計算がも可能です（答は同じになります）。

お礼

どうも詳細なご説明有難うございました。
意外と簡単なのですね。
お陰様で解決致しました。

回答No.1

noname#49614

７になる場合は６通り、８になる場合は５通り。
つまり５／(５＋６)で５／１１

ではないでしょうか。