サイコロを使った確率の問題です

質問

賭ケグルイ双というコミック本があります。この作品にサイコロゲーム「スリーヒットダイス」が登場するのですが、その確率論がよく理解できません。
例えば「ＤＤＤ」と「ＵＵＵ」の期待値が12回というのはどういうことなのでしょう？
「ＵＵＤ」「ＵＤＤ」「ＤＤＵ」「ＤＵＵ」が出るまでの期待値が8回とのことですが、「ＵＤＵ」や「ＤＵＤ」の場合も8回となると思うのですが…

解説画像です↓
http://s1.gazo.cc/up/180886.jpg
もし表示されない場合はこちらを↓
http://l2.upup.be/mcrvPnT8rx
解説です↓
http://reina-onlinecasino.com/kakegurui-twin/netabare2.html#i-5
http://phmpk.hatenablog.com/entry/2016/03/08/073000
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B3%AD%E3%82%B1%E3%82%B0%E3%83%AB%E3%82%A4#.E8.B3.AD.E3.82.B1.E3.82.B0.E3.83.AB.E3.82.A4.E5.8F.8C.E3.81.AB.E7.99.BB.E5.A0.B4.EF.BC.88.E3.82.AE.E3.83.A3.E3.83.B3.E3.83.96.E3.83.AB.EF.BC.89

回答No.2

kanemoto_s · ベストアンサー

>例えば「ＤＤＤ」と「ＵＵＵ」の期待値が12回というのはどういうことなのでしょう？
「サイコロを振る回数の期待値」
その組み合わせで1人でゲームをして、平均して何回くらいでゲームを終了できるか？
という問題は統計を取ればぶれてしまいます（標本平均はばらつく）が回数を重ねれば理論上ある値に近づきます。それを期待値を呼びます。
例えばサイコロを1回振った時の出目の期待値は3.5(1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6)です。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%9F%E5%BE%85%E5%80%A4
某サッカー解説者が使っている期待値は誤用ですので注意した方がいいです。

1人でゲームをした時、n回投げてxyzがn回目に出てゲームが終了する確率P(n,xyz)は、

UUU　UUD　UDU　UDD　DUU　DUD　DDU　DDD
P(3,UUU)=1/8　P(3,UUD)=1/8　P(3,UDU)=1/8　P(3,UDD)=1/8　P(3,DUU)=1/8　P(3,DUD)=1/8　P(3,DDU)=1/8　P(3,DDD)=1/8

UUUU　UUUD　UUDU　UUDD　UDUU　UDUD　UDDU　UDDD
DUUU　DUUD　DUDU　DUDD　DDUU　DDUD　DDDU　DDDD
P(4,UUU)=1/16　P(4,UUD)=1/8　P(4,UDU)=1/8　P(4,UDD)=1/8　P(4,DUU)=1/8　P(4,DUD)=1/8　P(4,DDU)=1/8　P(4,DDD)=1/16

UUUUU　UUUUD　UUUDU　UUUDD　UUDUU　UUDUD　UUDDU　UUDDD
UDUUU　UDUUD　UDUDU　UDUDD　UDDUU　UDDUD　UDDDU　UDDDD
DUUUU　DUUUD　DUUDU　DUUDD　DUDUU　DUDUD　DUDDU　DUDDD
DDUUU　DDUUD　DDUDU　DDUDD　DDDUU　DDDUD　DDDDU　DDDDD
P(5,UUU)=1/16　P(5,UUD)=1/8　P(4,UDU)=3/32　P(5,UDD)=1/8　P(5,DUU)=1/8　P(5,DUD)=3/32　P(5,DDU)=1/8　P(5,DDD)=1/16

UUUUUU　UUUUUD　UUUUDU　UUUUDD　UUUDUU　UUUDUD　UUUDDU　UUUDDD
UUDUUU　UUDUUD　UUDUDU　UUDUDD　UUDDUU　UUDDUD　UUDDDU　UUDDDD
UDUUUU　UDUUUD　UDUUDU　UDUUDD　UDUDUU　UDUDUD　UDUDDU　UDUDDD
UDDUUU　UDDUUD　UDDUDU　UDDUDD　UDDDUU　UDDDUD　UDDDDU　UDDDDD
DUUUUU　DUUUUD　DUUUDU　DUUUDD　DUUDUU　DUUDUD　DUUDDU　DUUDDD
DUDUUU　DUDUUD　DUDUDU　DUDUDD　DUDDUU　DUDDUD　DUDDDU　DUDDDD
DDUUUU　DDUUUD　DDUUDU　DDUUDD　DDUDUU　DDUDUD　DDUDDU　DDUDDD
DDDUUU　DDDUUD　DDDUDU　DDDUDD　DDDDUU　DDDDUD　DDDDDU　DDDDDD
P(6,UUU)=1/16　P(6,UUD)=7/64　P(6,UDU)=5/64　P(6,UDD)=7/64　P(6,DUU)=7/64　P(6,DUD)=5/64　P(6,DDU)=7/64　P(6,DDD)=1/16

のようになりました。少なくとも5、6回では
UDD、DUU、UUD、DDUが強くて
UDU、DUDが次
UUU、DDDが最弱ですね。

この関係はnが大きくても変わらないのは自明です。
UDUとDUDは繰り返しができてしまうので弱いです。
nが大きくなった時の確率の計算法はちょっと思いつかないですね。
1-(1/8)^nのような形になってませんからね。
暗算で抜けるために振る回数の期待値を計算できるのか疑問です。
プログラムを組めば予測できますが。

>「ＵＵＤ」「ＵＤＤ」「ＤＤＵ」「ＤＵＵ」が出るまでの期待値が8回とのことですが、
>「ＵＤＵ」や「ＤＵＤ」の場合も8回となると思うのですが
上記5回や6回の時のように、前者と後者の期待値も異なります。

5回振ったときでは、
UDDよりUUDが強い
UUDよりDUUが強い
DUUよりDDUが強い
DDUよりUDDが強い
ようですね。

解説の「DUUよりUDUが強い」は、UDUよりDDUの方が最善です。
相手の手札が見えるなら、相手の頭2文字を後ろ2文字に置いて、UDD、DUU、UUD、DDUのどれかになるように選べば有利です。

お礼

回答いただきありがとうございます。

確率論のことも期待値のこともよく知らずに質問してしまいました。
回答文をよく読み、またネット検索して理解に努めたいと思います。

（※OK-WAVEの返信メールへの認証が遅くなったためか質問が重複してしまいました）

回答No.3

kanemoto_s

#2です。

前回回答の
＞1-(1/8)^nのような形
は1-(1-1/8)^nの誤りでした。失礼。

＞回答文をよく読み、またネット検索して理解に努めたいと思います。
何か追加で聞きたいことがあれば補足を下さい。

今回はもうちょっと真面目に回答してみます。

・UUUが弱い理由
4回の場合、4回目にUUUで終了する組み合わせは
UUUU　DUUU
のうちDUUUのみ(UUUUは3回目で終了している)、これに対しDUUだと
DDUU　UDUU
の2種類となる。これを一般化すると、n-1回目が
Uの場合はn-1回目で終了しているが、DUUだとn-1回で終了する組み合わせは存在しない。
なのでnを増やしても常にUUUは弱い。
・UDUが弱い理由
5回の場合、5回目にUDUで終了する組み合わせは
UUUDU　UDUDU　DUUDU　DDUDU
のうちUDUDU以外の3種類。これを一般化すると、n-2、n-1回目が
UDの場合はn-2回目で終了しているが、DUUだとn-2回で終了する組み合わせは存在しない。
なのでnを増やしても常にUDUは弱い。

・UUUの確率の一般化
Xuu(n)、Xud(n)、Xdu(n)、Xdd(n)をn回目で終了していない組み合わせの数とする。ここでuu、ud、du、ddは最初がn-1回目、次がn回目の結果である。
また、n回目での組み合わせ総数はS(n)=2^n、n回目で終了する組み合わせ数をX(n)と表記することにする。
n回目に終了する確率をPuuu(n)と表記すると、Puuu(n)=X(n)/S(n)。
n回目までに終了したときのサイコロを振った回数の期待値をNuuu(n)と表記すると、Nuuu(n)=Σ(m=3,n)〔mX(m)/S(m)〕。求める期待値はNuuu=Σ(m=3,∞)〔mX(m)/S(m)〕
これらの数列を初項から考えて一般化していくと、
Xuu(1)=0　Xud(1)=0　Xdu(1)=0　Xdd(1)=0　S(1)=2　X(1)=0　Puuu(1)=0　Nuuu(1)=0
Xuu(2)=1　Xud(2)=1　Xdu(2)=1　Xdd(2)=1　S(2)=4　X(2)=0　Puuu(2)=0　Nuuu(2)=0
Xuu(3)=1　Xud(3)=2　Xdu(3)=2　Xdd(3)=2　S(3)=8　X(3)=1　Puuu(3)=1/8　Nuuu(3)=3/8
Xuu(4)=2　Xud(4)=3　Xdu(4)=4　Xdd(4)=4　S(4)=16　X(4)=1　Puuu(4)=1/16　Nuuu(4)=5/8
Xuu(5)=4　Xud(5)=6　Xdu(5)=7　Xdd(5)=7　S(5)=32　X(5)=2　Puuu(5)=1/16　Nuuu(4)=15/16
・・・
Xuu(n)=Xdu(n-1)　Xud(n)=Xuu(n-1)+Xdu(n-1)　Xdu(n)=Xud(n-1)+Xdd(n-1)　Xdd(n)=Xud(n-1)+Xdd(n-1)　S(n)=2^n　X(n)=Xuu(n-1)　Puuu(n)=Xuu(n-1)/2^n　Nuuu(n)=Nuuu(n-1)+nPuuu(n)
最後の式を整理すると、
Xuu(n)=Xuu(n-1)+Xuu(n-2)+Xuu(n-3) Xuu(0)=0 Xuu(1)=0 Xuu(2)=1．．．ネットで調べたところ、トリボナッチ数列と言う特殊な数列らしい。
表計算ソフトのExcelで計算するとNuuu(200)=13.999999。おそらくNuuu=14　でなぜか整数。作者は14と断言しているから証明のやり方まで知っていそう。大学で数学を専攻していれば出てくるのだろうか？（物理数学には多分トリボナッチ数列は出てこなかった。）

・UUDの確率の一般化
Yuu(n)、Yud(n)、Ydu(n)、Ydd(n)をn回目で終了していない組み合わせの数とする。ここでuu、ud、du、ddは最初がn-1回目、次がn回目の結果である。
また、n回目での組み合わせ総数はS(n)=2^n、n回目で終了する組み合わせ数をY(n)と表記することにする。
n回目に終了する確率をPuud(n)と表記すると、Puud(n)=Y(n)/S(n)。
n回目までに終了したときのサイコロを振った回数の期待値をNuud(n)と表記すると、Nuud(n)=Σ(m=3,n)〔mY(m)/S(m)〕。求める期待値はNuud=Σ(m=3,∞)〔mY(m)/S(m)〕

Yuu(1)=0　Yud(1)=0　Ydu(1)=0　Ydd(1)=0　S(1)=2　Y(1)=0　Puud(1)=0　Nuud(1)=0
Yuu(2)=1　Yud(2)=1　Ydu(2)=1　Ydd(2)=1　S(2)=4　Y(2)=0　Puud(2)=0　Nuud(2)=0
Yuu(3)=2　Yud(3)=1　Ydu(3)=2　Ydd(3)=2　S(3)=8　Y(3)=1　Puud(3)=1/8　Nuud(3)=3/8
・・・
Yuu(n)=Yuu(n-1)+Ydu(n-1)　Yud(n)=Ydu(n-1)　Ydu(n)=Yud(n-1)+Ydd(n-1) 　Ydd(n)=Yud(n-1)+Ydd(n-1)　S(n)=2^n　Y(n)=Yuu(n-1)　Puud(n)=Yuu(n-1)/2^n　Nuud(n)=Nuud(n-1)+nPuud(n)
簡略化すると、
Yuu(n)=Yuu(n-1)+Yuu(n-2)+1 Yuu(1)=0 Yuu(2)=1
Excelで計算するとNuud(90)=7.999999　おそらくNuud=8　こちらもなぜか整数。

・UDUの確率の一般化
同様に
Zuu(1)=0　Zud(1)=0　Zdu(1)=0　Zdd(1)=0　S(1)=2　Z(1)=0　Pudu(1)=0　Nudu(1)=0
Zuu(2)=1　Zud(2)=1　Zdu(2)=1　Zdd(2)=1　S(2)=4　Z(2)=0　Pudu(2)=0　Nudu(2)=0
Zuu(3)=2　Zud(3)=1　Zdu(3)=2　Zdd(3)=2　S(3)=8　Z(3)=1　Pudu(3)=1/8　Nudu(3)=3/8
・・・
Zuu(n)=Zuu(n-1)+Zdu(n-1)　Zud(n)=Zuu(n-1)+Zdu(n-1)　Zdu(n)=Zdd(n-1)　Zdd(n)=Zud(n-1)+Zdd(n-1)　S(n)=2^n　Z(n)=Yud(n-1)　Pudu(n)=Zud(n-1)/2^n　Nudu(n)=Nudu(n-1)+nPudu(n)
簡略化するとZud(n)=Zud(n-1)+Zud(n-2)+Zud(n-4)　Zud(0)=0　Zud(1)=0　Zud(2)=1　Zud(3)=2

同様にPudu(150)=9.999999で　UDUの期待値はおそらく10。

計算に使ったExcelシート
http://kanemoto.mydns.jp/~shuuji/chishiki/q9141866.xls

お礼

重ねての詳細かつ丁寧な回答をいただき恐縮しております。

この確率/期待値の問題がこのように難解なものとは知らず簡単に質問してしまいました。
ご協力いただきましたこと誠に感謝いたします。

回答No.1

noname#217196

三回振って出る目の組み合わせは、2の３乗で以下の８通り。
UUU
UUD
UDU
UDD
DUU
DUD
DDU
DDD

UUUまたはDDDが出現すると期待するのに十分な試行回数を求めるには、試行回数nに対して、次の式の結果が何割以上かで判断できる。
f(n)=1-(1-2/8)^n
全事象確率1からUUUまたはDDDが出ない確率2/8を減じてn乗するというのは、試行回数n回連続でUUU もDDDも出ない確率という意味。それをさらに全事象確率1から減じることで、試行回数n回のうち一度でもUUU またはDDD が出る確率を求めることになる。

※知ってたら読み飛ばしていいけど、乗について補足。2の2乗は2を2回かけて4。2の3乗は2を３回かけて8。学校では数字の右肩に小さく数字を書くことで表記したのを、三平方の定理や円の面積の公式で習っているはず。コンピュータでは右肩に小さく書くことをサポートするソフトが少なく、慣例として^を使う。

nが12のとき、以下となり、12回の試行で、UUU またはDDD が一度でも出現する確率は96%を越える。
f(12)=1-(1-2/8)^12
≒0.9683236479

同様に、UUD、UDD、DUU、DDUのどれかが出現する確率は、以下。
f(n)=1-(1-4/8)^n
f(8)=1-(1-4/8)^8
≒0.99609375

UDU、DUDのどれかが出現する確率は、UUU、DDDのどれかが出現する確率と一致する。試行回数12回だと、上記のように96%にとどまり、確率99%を越えないから、あと何回か試行回数を増やさないとならなさそう。

お礼

回答いただきありがとうございます。

確率論のことも期待値のこともよく知らずに質問してしまいました。
回答文をよく読み、またネット検索して理解に努めたいと思います。

（※OK-WAVEの返信メールへの認証が遅くなったためか質問が重複してしまいました）