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線形独立の証明問題における誤った回答と単射についての疑問
tyujiの回答
(※)のところに「単射とは限らない」と指摘されたとのことですが、 ただ、fが単射でないのに f(a)=f(b)⇒a=b（単射の定義) を(※)の式変形で使ってしまっているからではないでしょうか？ 上記の証明ですが、fが単射か、全単射（同型写像）の時にのみ 成り立つ証明で、しかも示すものと逆の 「x(1),・・・,x(k)が線形独立⇒f(x(1)),・・・,f(x(k))が線形独立」 の証明とごっちゃになってて、証明の流れも不自然にみえます。 最初に「c(1)=・・・=c(k)=0」と書いてしまっているのがまずいです。 これを最初に書くとしたら、新たに別の文字を設定して、Σx(k)*d(k) =0で、d(1)=・・・=d(k)=0を示さなければダメじゃないでしょうか？ 「c(1)=・・・=c(k)=0」を最初に仮定してるのに、x(1),・・・,x(k) の係数として使ったら、その時点で、x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0 も明らかですし、x(1),・・・,x(k)の線形独立も明らかとなってしまいます。 結局、 x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0で、c(1)=・・・=c(k)=0 を示せばいいんだから、 (証明) x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0があるとすると、 f(x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k))＝f(0)=0（∵x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0を代入。f(0)=0は線形写像より、明らか) fは線形写像なので、左辺を変形して、 f(x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k))=f(x(1))*c(1)+・・・+f(x(k))*c(k)が成り立つ。 よって、 f(x(1))*c(1)+・・・+f(x(k))*c(k)=0 したがって、仮定より、 f(x(1)),・・・,f(x(k))が線形独立より、c(1)=・・・=c(k)=0 以上より x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0で c(1)=・・・=c(k)=0なので x(1),・・・,x(k)は線形独立となる。（証明終） これでどうでしょうか？
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お礼
なるほど、c(1)・・・c(k)をx(1)・・・x(k)とf(x(1))・・・f(x(k))の両方に用いるのはおかしいですね。 気づきませんでした。 分かりやすい回答ありがとうございました。