- ベストアンサー
線形独立の証明問題
線形独立の証明問題 Vを実線形空間、fをVの線形変換とする。またWをf^(-1) ({0})∩W={0}をみたすようなVの部分空間とする。さらにkを自然数とし、v1,v2,…,vk∈Vとする。次の問いに答えよ。 （１） f(v1),f(v2),…,f(vk)が線形独立ならば、v1,v2…,vkもまた線形独立であることを示せ。 (2) v1,v2,…,vk∈Wかつv1,v2,…,vkが線形独立ならば、f(v1),f(v2),…,f(vk)もまた線形独立であることを示せ。 この問題が解けません。 特にf^(-1) ({0})∩W={0}の理解が困難です。 証明の手順を教えてください、お願いします。
- reine1
- お礼率76% (83/109)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数7
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>>「a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk は、W の元であることは明らか」というのは部分空間の定義からですよね？ その通りです。 >>「Ker fの元にもなっている」というのは、「v1, v2, ・・・, vk が線形独立」から導かれたのですよね？ 違います。 a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0 とおいたのですから、左辺を変形すると f(a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk) = 0 となります。 これは、a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk ∈ f^(-1) ({0}) を意味します。 よって、a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk ∈ Ker f というわけです。 この時点では、「v1, v2, ・・・, vk が線形独立」という条件は一切使っていません。 >>WとKer f の共通部分は{0}なので、0ですよね？ その通りです。 a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk = 0 がいえました。 ここで、「v1, v2, ・・・, vk が線形独立」を使うことにより、 a1 = a2 = ・・・ = ak = 0 がいえます。 まとめてみましょう。 a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0 とおくことからスタートして、 a1 = a2 = ・・・ = ak = 0 にたどり着きました。 これより、f(v1), f(v2), ・・・, f(vk) は線形独立であることが示されました。
その他の回答 (1)
- OurSQL
- ベストアンサー率40% (53/131)
>>特にf^(-1) ({0})∩W={0}の理解が困難です。 理解も何も、書かれている通りです。 f^(-1) ({0})は、Ker f と書かれることが多く、Ker f ∩ W = {0} ということです。 (1)v1, v2, ・・・, vk が線形独立であることを証明したいときは、 a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk = 0 -----(#) とおいて、 a1 = a2 = ・・・ = ak = 0 を導く方法がよく使われます（a1, a2, ・・・ , ak は実数）。 (#)において、左辺と右辺の f による像を考えると、 a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0 f(v1), f(v2), ・・・, f(vk) が線形独立なのだから、終了ですね。 (2)今度は、 a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0 とおきます。 すると、 a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk は、W の元であることは明らかですが、Ker f の元にもなっています。 よって、a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk が具体的にどういうベクトルか分かると思います。 このことと、v1, v2, ・・・, vk が線形独立ということをセットにすれば、もう終了ですよね。
お礼
ありがとうございます。 (1)の方は、 >>(#)において、左辺と右辺の f による像を考えると、 a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0 この思考にいきつけませんでしたが、おかげさまで理解できました。 (2)の方ですが、いくつか確認したいことがあります。 >>a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk は、W の元であることは明らかですが、Ker f の元にもなっています。 「a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk は、W の元であることは明らか」というのは部分空間の定義からですよね？ 「Ker fの元にもなっている」というのは、「v1, v2, ・・・, vk が線形独立」から導かれたのですよね？ >>よって、a1v1 + a2v2 + ・・・ + akvk が具体的にどういうベクトルか分かると思います。 WとKer f の共通部分は{0}なので、0ですよね？ >>このことと、v1, v2, ・・・, vk が線形独立ということをセットにすれば、もう終了ですよね。 今示したいのは、a1f(v1) + a2f(v2) + ・・・ + akf(vk) = 0 のとき、 a1 = … = ak = 0 ですが、それにどう繋がるのか分かりません。 同じ、aの文字を使っているのに理由があるのでしょうが、理解できません。 すみません、いろいろ考えてみたのですが、理解力に乏しくて・・・。 よろしくお願いします。
関連するQ&A
- 線形独立の証明問題。
V,Wをベクトル空間、f:V→Wを線形写像とする、以下の問に答えよ。 【１】Imf={f(x)|x∈V}はWの部分空間であることを示せ。 【２】x(1),・・・,x(k)∈Vとする。このとき、 f(x(1)),・・・,f(x(k))が線形独立⇒x(1),・・・,x(k)が線形独立。 を示せ。 という問題で、【１】はできたのですが、【２】で以下のように回答したら、間違っていました、どうしてか分かりません。 f(x(1))*c(1)+・・・+f(x(k))*c(k)=0とすると、 c(1)=・・・=c(k)=0である。 fは線形写像なので、 f(x(1))*c(1)+・・・+f(x(k))*c(k)=f(x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k))が成り立つ。 よって、 f(x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k))=f(0)と書けるので、 (※) x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0 c(1)=・・・=c(k)=0なので x(1),・・・,x(k)は線形独立となる。（証明終） (※)のところに「単射とは限らない」と書かれてしまいました。 どういう意味なのか理解できません。 単射の意味自体は分かっています。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学レベルの線形代数の質問
教授からレポートが出されました。 R^nの部分ベクトル空間は，ある連立一次方程式の解空間であることの証明と、f : V →U をベクトル空間の間の線型写像とし，v1,…,vk∈V としたとき、f(v1),…,f(vk)が一次独立ならばv1,…,vk も一次独立であることの証明がわかりませんでした。 どちらか片方だけでも構いません。わかる方がいらっしゃったら、ご回答を願います。 よろしくおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形独立の証明について
「線形独立なベクトルの集合Vの部分集合Wのベクトルも、線形独立の集合であることを証明せよ」 この問についての解答のご指摘をお願いしたいです。 【解答】 WがVの部分集合であるための条件は、 v_x+v_y∈W av_x∈W a∈R Vは線形独立なベクトルの集合であるので、 a_1*v_1+a_2*v_2+…+a_n*v_n = 0 a_1,a_2,…,a_n = 0 従って、条件をみたすので、Vの部分集合Wのベクトルは全て線形独立である この様に証明しました。 おそらく、間違っていると思うので、ご指摘をよろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形独立、線形従属の問題
線形独立と線形従属に関する問題です Vの元の組ｖ₁，・・・，ｖn が線形独立であっても、もうひとつ別の ｖn+₁∊V を加えた場合、 ｖ₁，・・・，vn，ｖn+₁は線形従属になることがある。V＝R³の場合にそのような例を見つけよ。 という問いです。 大学の授業での問題なのですが、どのように手をつければよいのか全然分からなくて困っています。 答えに至る経緯も含めて回答頂けると助かります！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題です。
線形代数の問題です。 問１．ベクトル空間Vにおいて、次の命題を考える。 Vのベクトル「 (1)X1,X2,X3,…,Xkは一次独立 」とする。 さらに、もう１つのVのベクトルyを付け加えたとき 「(2) X1,X2,X3,…,Xk,yは一次従属 」とする。 このときyは「(3) X1,X2,X3,…,Xkの一次結合 」で一意的に書き表される。 (i)「(1)」「(2)」「(3)」の定義を述べよ。 (ii)上の命題を証明せよ。 問２．次の言葉の定義を簡潔にかつ正確に述べよ。 ただし一次独立、一次結合という言葉は使ってもよい。 (i)線形空間の基底 (ii)線形空間の次元 (iii)線形写像の階数 分かる方お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線型独立
Ｖをベクトル空間としてa1,a2,a3,a4,bをＶのベクトルとする。 ＜a1,a2,a3,a4＞をa1,a2,a3,a4で生成されたＶの部分空間とする。 a1,a2,a3,a4が線型独立で、＜a1,a2,a3,a4＞∌ b とする。 このときa1,a2,a3,a4,bが線型独立であることを、線型独立の定義にしたがって示せ。 という問題なのですが、まったく分かりません。 線型独立なので、k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0⇒k1=k2=k3=k4=0 ということは分かっているのですが、bが入ることでどのように示していけばいいのか・・・ 「線型独立の定義にしたがって」と書いてあるので、線型従属ではないことを示していくのではないんですよね？ 文系出身なうえ、独学で勉強しているので、易しく教えていただければ嬉しいですm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題で困っています。
U={F:V→W|Fは線形写像} とおき、 Vを3次元線形空間とし、｛v1,v2,v3｝を基底とする。 Wを2次元線形空間とし、｛w1,w2｝を基底とする。 このとき (1)Uは線形空間であることを示せ。 (2)Uの基底を一組求めよ。 (3)｛v1,v2,v3｝、｛w1,w2｝を用いて同型写像を作ることにより、UとM（2,3）は同型になることを示せ。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の問題で質問です。
線形代数の問題で質問です。 VをK上のベクトル空間とし、UおよびWをVの部分空間とする。 このとき、もしU∪WがVの部分空間であるならば、U⊂VまたはW⊂Vが成り立つことを示せ。 という問題なんですが、U∪WがVの部分空間であるならば、U⊂VまたはW⊂Vが成り立つというのは、なんとなく想像できるんですが、どうやって証明したらいいか分かりません。 教えてください、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
理解できました。 ありがとうございます。 どうも、fと結びつける思考法が苦手みたいでした。