線形独立の証明問題。

質問

V,Wをベクトル空間、f:V→Wを線形写像とする、以下の問に答えよ。
【１】Imf={f(x)|x∈V}はWの部分空間であることを示せ。
【２】x(1),・・・,x(k)∈Vとする。このとき、
f(x(1)),・・・,f(x(k))が線形独立⇒x(1),・・・,x(k)が線形独立。
を示せ。

という問題で、【１】はできたのですが、【２】で以下のように回答したら、間違っていました、どうしてか分かりません。

f(x(1))*c(1)+・・・+f(x(k))*c(k)=0とすると、
c(1)=・・・=c(k)=0である。
fは線形写像なので、
f(x(1))*c(1)+・・・+f(x(k))*c(k)=f(x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k))が成り立つ。
よって、
f(x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k))=f(0)と書けるので、
(※)
x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0
c(1)=・・・=c(k)=0なので
x(1),・・・,x(k)は線形独立となる。（証明終）

(※)のところに「単射とは限らない」と書かれてしまいました。
どういう意味なのか理解できません。
単射の意味自体は分かっています。

お願いします。

回答No.3

tyuji · ベストアンサー

(※)のところに「単射とは限らない」と指摘されたとのことですが、
ただ、fが単射でないのに
　f(a)=f(b)⇒a=b（単射の定義)
を(※)の式変形で使ってしまっているからではないでしょうか？
上記の証明ですが、fが単射か、全単射（同型写像）の時にのみ
成り立つ証明で、しかも示すものと逆の
「x(1),・・・,x(k)が線形独立⇒f(x(1)),・・・,f(x(k))が線形独立」
の証明とごっちゃになってて、証明の流れも不自然にみえます。

最初に「c(1)=・・・=c(k)=0」と書いてしまっているのがまずいです。
これを最初に書くとしたら、新たに別の文字を設定して、Σx(k)*d(k)
=0で、d(1)=・・・=d(k)=0を示さなければダメじゃないでしょうか？
「c(1)=・・・=c(k)=0」を最初に仮定してるのに、x(1),・・・,x(k)
の係数として使ったら、その時点で、x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0
も明らかですし、x(1),・・・,x(k)の線形独立も明らかとなってしまいます。

結局、
x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0で、c(1)=・・・=c(k)=0
を示せばいいんだから、
(証明)
x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0があるとすると、

f(x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k))＝f(0)=0（∵x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0を代入。f(0)=0は線形写像より、明らか)

fは線形写像なので、左辺を変形して、
f(x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k))=f(x(1))*c(1)+・・・+f(x(k))*c(k)が成り立つ。
よって、
f(x(1))*c(1)+・・・+f(x(k))*c(k)=0
したがって、仮定より、
f(x(1)),・・・,f(x(k))が線形独立より、c(1)=・・・=c(k)=0

以上より
x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0で
c(1)=・・・=c(k)=0なので
x(1),・・・,x(k)は線形独立となる。（証明終）

これでどうでしょうか？

お礼

なるほど、c(1)・・・c(k)をx(1)・・・x(k)とf(x(1))・・・f(x(k))の両方に用いるのはおかしいですね。
気づきませんでした。
分かりやすい回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#101087

>x(1),・・・,x(k)∈Vとする。このとき、
>f(x(1)),・・・,f(x(k))が線形独立⇒x(1),・・・,x(k)が線形独立。を示せ。
>f(x(1))*c(1)+・・・+f(x(k))*c(k)=0とすると、
>c(1)=・・・=c(k)=0である。

間違った道じゃないのですが、飛ばしすぎです。

　　c(1)=・・・=c(k)=0 に限られるから、x(i) (i=1～k) は Ker(f) に属さない。
V から Ker(f) の零元以外を除いた Vc を作ると、f を Uc に制限した関数 fc は Vc から W への単射。
// これで、(※)「単射とは限らない」と文句を言われなくなる。 //
あとは、一次縦続な x(1),・・・,x(k)∈V を想定すると、f(x(1)),・・・,f(x(k)) が線形独立じゃなくなり、
題意に反する。

・・・と間を埋めておけば、良さそうです。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_

>f(x(1))*c(1)+・・・+f(x(k))*c(k)=0とすると、
出だしから間違っている。

>f(x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k))=f(0)と書けるので、
>x(1)*c(1)+・・・+x(k)*c(k)=0

これはつまり f(x) = f(y) から x = y を導いているということじゃろ？
もっと自分が何を前提として議論を進めているのかを注意深く検証する必要があります。

お礼

ありがとうございます。
そうですね、もう少し１文１文正確に検証していく必要があると思いました。