カイ二乗分布

質問

確率変数Xが自由度nのカイ二乗分布に従うとき　
φ(t) = E(e^(tX))を求めよ　という問題に取り組んでいます。

以下のように考えました。
Xがカイ二乗分布に従うので
X　=　X1^2 + X2^2 + X3^2 + ... + Xn^2
とおけば
E(e^(tX)) =E( e^(t(X1^2 + X2^2 + X3^2 + ... + Xn^2 )))
=E(Π(1->n) e^(t(Xi^2)) )
= Π(1->n) E( e^(t(Xi^2))
= (∫(-∞->∞)　e^(tx^2) f(x) dx )^n (ここでf(x) は標準正規分布N(0 1)の確率密度関数)
　= (∫e^(tx^2) * (1/√（2π)) e^(-x^2) dx ) ^n

とここまで計算できたのですが、　この後が計算できません。
アドバイスをいただけないでしょうか。　お願いします。

回答No.1

zk43

最後のe^(-x^2)のところで指数の中を2で割るのがぬけていますが、
e^(tx^2)*e^(-x^2/2)=e^(-(1/2-t)x^2)
とまとめて、(1/2-t)^(1/2)x=uと置換すれば（ただし、t＜1/2）
計算できて、(1-2t)^(-1/2)になる。（よく知っているe^(-u^2)の
積分の形になる。）

また、カイ二乗分布の確率密度関数の式から直接計算もできる。
こちらの方が簡単と思える。
その際、積分の中にe^(-(1/2-t)x)の項が出てくるが、(1/2-t)x=uと置
換して積分を行えば、積分の部分がガンマ関数Γ(n/2)になる。
これが分母のΓ(n/2)と打ち消し合う。